потому что (а) немцы не проводят здесь газовую атаку, (б) в отличие от Алана он не страдает сенной лихорадкой.

— Прости. — Алан резко тормозит и спрыгивает с велосипеда. Он отрывает заднее колесо от дороги, раскручивает его свободной рукой и быстрым движением дергает цепь. Потом внимательно созерцает механизм, прерываясь только для того, чтобы несколько раз чихнуть.

В цепи у велосипеда Тьюринга дефектное звено. В заднем колесе погнута одна спица. Когда звено задевает спицу, цепь сваливается и падает на дорогу. Это происходит не при каждом обороте колеса — иначе велосипед проще было бы выкинуть. Это происходит при определенном взаимном расположении цепи и колеса.

Исходя из разумного предположения, что доктор Тьюринг находится в хорошей спортивной форме и развивает скорость примерно 25 км/час, а радиус колеса — примерно треть метра, если бы дефектное звено задевало гнутую спицу при каждом обороте колеса, то цепь сваливалась бы каждую третью долю секунды.

На самом деле цепь не сваливается, пока гнутая спица не заденет дефектное звено. Теперь допустим, что вы описываете положение заднего колеса традиционной буквой Q. Ради простоты договоримся: если колесо начинает вращаться из положения, в котором гнутая спица может задеть дефектное звено (разумеется, только если дефектное звено находится там, где его можно задеть), то Q = 0. Если в качестве единицы измерения используются градусы, то за один поворот колеса Q принимает все значения вплоть до 359, прежде чем вернуться к нулю, когда гнутая спица вновь может сбросить цепь. Теперь предположим, что положение цепи вы описываете переменной C по очень простому принципу: нумеруя все звенья цепи. Дефектному звену ставится в соответствие число 0, следующему 1 и так далее до l-1, где l — общее число звеньев в цепи. Опять-таки ради простоты примем, что в положении, в котором дефектное звено может задеть гнутую спицу (при условии, что спица — там, где ее можно задеть), C = 0.

Чтобы вычислить, когда с велосипеда доктора Тьюринга свалится цепь, все, что нам надо знать про велосипед, — это значения Q и C. Эти два числа определяют состояние велосипеда. У велосипеда столько возможных состояний, сколько существует возможных значений (Q, C), но только в одном из этих состояний, а именно (0, 0), цепь свалится на дорогу.

Предположим, мы начинаем с этого состояния, т. е. (Q = 0, C = 0), но цепь не свалилась, потому что доктор Тьюринг (прекрасно зная состояние своего велосипеда в каждый конкретный момент времени) остановился посреди дороги и едва избежал столкновения со своим другом и коллегой Лоуренсом Притчардом Уотерхаузом, поскольку противогаз блокирует его периферическое зрение. Доктор Тьюринг немного прокрутил цепь вперед, одновременно оттягивая ее вбок, чтобы не задела за гнутую спицу. Теперь он снова садится на велосипед и начинает крутить педали. Окружность его колеса примерно два метра, значит, когда он проехал два метра по дороге, колесо совершило полный оборот и вернулось в состояние Q = 0, в котором, как мы помним, гнутая спица может задеть дефектное звено.

Что с цепью? Ее положение, определяемое как C, начинается с 0, достигает единицы, когда в фатальную позицию перемещается следующее звено, потом двойки и так далее. Цепь движется синхронно с зубцами звездочки в центре заднего колеса. У звездочки n зубцов, так что после второго полного оборота заднего колеса Q снова = 0, но C теперь = 2n. В следующий раз C = 3n и так далее. Однако не забывайте, что цепь — не бесконечная прямая линия, а замкнутая петля, имеющая всего l позиций; при C = l, она возвращается к началу цикла, и C снова принимает нулевое значение. Так что при вычислении C следует прибегнуть к арифметике остатков: то есть если в цепи сто звеньев (l = 100), а общее число перемещенных звеньев — 135, то значение C не 135, а 35. Как только вы получаете число, больше или равное l, вы просто последовательно вычитаете l, пока результат не станет меньше l. Математики обозначают эту операцию mod l. Так что последовательные значения C, всякий раз как заднее колесо возвращается в положение Q = 0, равны:

C_i = n mod l, 2n mod l, 3n mod l, …, in mod l

где i = (1, 2, 3, … 8 ?),

меньше или больше в зависимости от того, насколько близкое к бесконечности время Тьюринг намерен ехать на велосипеде. Через некоторое время Уотерхаузу начинает казаться, что они и впрямь едут бесконечно.

Цепь сваливается, когда велосипед достигает состояния (Q = 0, C = 0). В свете вышесказанного это происходит, когда l (которое просто означает число оборотов, совершенных задним колесом) достигает некоего гипотетического значения, при котором in mod l = 0, или, говоря по- человечески, когда некое число, кратное n (такое, как, например, 2n, 3n, 395n или 109 948 368 443n), оказывается в то же время кратным l. Вообще-то это может быть любое из так называемых общих кратных, но с практической точки зрения важно только первое — наименьшее общее кратное, или НОК, поскольку именно оно будет достигнуто первым и вызовет падение цепи.

Если, скажем, у звездочки двадцать зубцов (n = 20), а в цепи сто звеньев (l = 100), то после первого поворота колеса мы имеем C = 20, после двух поворотов C = 40, потом 60, 80 и 100. Однако поскольку мы ищем остаток от деления на 100, значение надо изменить на ноль. Таким образом, после пяти оборотов колеса мы достигли состояния (Q = 0, C = 0) и цепь Тьюринга сваливается. За пять оборотов колеса он проезжает всего десять метров, поэтому при таких значениях l и n велосипед практически бесполезен. Разумеется, все это верно лишь в том случае, если Тьюринг такой дурак, чтобы начать движение из состояния спадения цепи. Если же он начинает крутить педали, когда велосипед находится в состоянии (Q = 0, C = 1), то C принимает значения 21, 41, 61, 81, 1, 21, … и так до бесконечности, и цепь не свалится никогда. Однако это вырожденное состояние, где «вырожденное» для математика означает «невыносимо скучное». В теории, если Тьюринг будет всякий раз выставлять нужное состояние, прежде чем бросить велосипед на улице, никто не сможет его украсть — цепь свалится через первые же десять метров.

Если же в цепи Тьюринга сто одно звено (l = 101), то после пяти оборотов мы имеем C = 100, а после шести C = 19, тогда

C = 39, 59, 79, 99, 18, 38, 58, 78, 98, 17, 37, 57, 77, 97, 16, 36, 56, 76, 96, 15, 35, 55, 75, 95, 14, 34, 54, 74, 94, 13, 33, 53, 73, 93, 12, 32, 52, 72, 92, 11, 31, 51, 71, 91, 10, 30, 50, 70, 90, 9, 29, 49, 69, 89, 8, 28, 48, 68, 88, 7, 27, 47, 67, 87, 6, 26, 46, 66, 86, 5, 25, 45, 65, 85, 4, 24, 44, 64, 84, 3, 23, 43, 63, 83, 2, 22, 42, 62, 82, 1, 21, 41, 61, 81, 0.

Так что состояние (Q = 0, C = 0) не будет достигнуто и цепь не свалится, пока колесо не совершит сто один оборот. За сто один оборот велосипед Тьюринга успевает проехать по дороге пятую часть километра, что совсем не так плохо. Значит, велосипед работающий. Однако в отличие от вырожденного случая его нельзя привести в такое состояние, чтобы цепь не спадала совсем. Это легко доказать, просмотрев приведенный список значений C и убедившись, что все возможные значения — все числа от одного до ста — в нем присутствуют. Это означает, что с какого бы значения C Тьюринг ни начал крутить педали, рано или поздно он придет к фатальному C = 0 и цепь