r₂ ? ?<?>r₁ ? ? <?>r₂;

Понятие монотонности в реляционной алгебре аналогично этому же понятию из алгебры обычной, общей. Поясним: если изначально отношения r₁ и r₂ были связаны между собой таким образом, что r ? r₂, то и после применения любого их трех операторов выборки, проекции или переименования это соотношение сохранится.

У любых операций есть свои правила применимости, которые необходимо соблюдать, чтобы выражения и действия не теряли смысла. Бинарные теоретико-множественные операции объединения, пересечений и разности могут быть применены только к двум отношениям обязательно с одной и той же схемой отношения. Результатом таких бинарных операций будут являться отношения, состоящие из кортежей, удовлетворяющих условиям операций, но с такой же схемой отношения, как и у операндов.

1. Результатом операции объединения двух отношений r₁(S) и r₂(S) будет новое отношение r₃(S), состоящее из тех кортежей отношений r₁(S) и r₂(S), которые принадлежат хотя бы одному из исходных отношений и с такой же схемой отношения.

Таким образом, пересечение двух отношений – это:

Для наглядности, приведем пример в терминах таблиц:

Пусть даны два отношения:

r₁(S):

r₂ (S):

Мы видим, что схемы первого и второго отношений одинаковы, только имеют различной количество кортежей. Объединением этих двух отношений будет отношение r₃(S), которому будет соответствовать следующая таблица:

r3(S) = r₁ (S) ? r₂(S):

Итак, схема отношения S не изменилась, только выросло количество кортежей.

2. Перейдем к рассмотрению следующей бинарной операции – операции пересечения двух отношений. Как мы знаем еще из школьной геометрии, в результирующее отношение войдут только те кортежи исходных отношений, которые присутствуют одновременно в обоих отношениях r₁(S) и r₂(S) (снова обращаем внимание на одинаковую схему отношения).

Операция пересечения двух отношений будет выглядеть следующим образом:

r₄(S) = r₁(S) ? r₂(S) = {t (S) | t ? r₁ & t ? r₂};

И снова рассмотрим действие этой операции над отношениями, представленными в виде таблиц:

r₁(S):

r₂ (S):

Согласно определению операции пересечением отношений r₁(S) и r₂(S) будет новое отношение r₄(S), табличное представление которого будет выглядеть следующим образом:

r₄(S) = r₁(S) ? r₂(S):

Действительно, если посмотреть на кортежи первого и второго исходного отношений, общий среди них только один: {b, 2}. Он и стал единственным кортежем нового отношения r₄(S) .

3. Операция разности двух отношений определяется аналогичным с предыдущими операциями образом. Отношения-операнды, так же, как и в предыдущих операциях, должны иметь одинаковые схемы отношения, тогда в результирующее отношение войдут все те кортежи первого отношения, которых нет во втором, т. е.:

r₅(S) = r₁(S) r₂(S) = {t(S) | t ? r₁ & t ? r₂};

Уже хорошо знакомые нам отношения r₁ (S) и r₂(S) , в табличном представлении выглядящие следующим образом:

r₁(S):

r₂ (S):

Мы рассмотрим как операнды в операции пересечения двух отношений. Тогда, следуя данному определению, результирующее отношение r5 (S) будет выглядеть следующим образом:

r₅(S) = r₁(S) r₂(S):

Рассмотренные бинарные операции являются базовыми, на них основываются другие операции, более сложные.

Операция декартового произведения и операция естественного соединения являются бинарными операциями типа произведения и основываются на операции объединения двух отношений, которую мы рассматривали ранее.

Хотя действие операции декартова произведения многим может показаться знакомым, начнем мы все- таки с операции естественного произведения, так как она является более общим случаем, нежели первая операция.

Итак, рассмотрим операцию естественного соединения. Следует сразу заметить, что операндами этого