1) имеем: X > X (из правила рефлексивности вывода Армстронга);

2) имеем далее: X ? Z > X (получаем, применяя сначала правило пополнения вывода Армстронга, а потом как следствие первого шага доказательства).

Правило тривиальности доказано.

2. Проведем пошаговое доказательство правила аддитивности:

1) имеем: X > Y (это посылка 1);

2) имеем: X > Z (это посылка 2);

3) имеем: Y ? Z > Y ? Z (из правила рефлексивности вывода Армстронга);

4) имеем: X ? Z > Y ? Z (получаем при помощи применения правила псевдотранзитивности вывода Армстронга, а потом как следствие первого и третьего шагов доказательства);

5) имеем: X ? X > Y ? Z (получаем, применяя правило псевдотранзитивности вывода Армстронга, а после следует из второго и четвертого шагов);

6) имеем X > Y ? Z (следует из пятого шага).

Правило аддитивности доказано.

3. И, наконец, проведем построение доказательства правила проективности:

1) имеем: X > Y ? Z, X > Y ? Z (это посылка);

2) имеем: Y > Y, Z > Z (выводится при помощи правила рефлексивности вывода Армстронга);

3) имеем: Y ? z > y, Y ? z > Z (получается из правила пополнения вывода Армстронга и следствием из второго шага доказательства);

4) имеем: X > Y, X > Z (получается, применением правила псевдотранзитивности вывода Армстронга, а затем как следствие из первого и третьего шагов доказательства).

Правило проективности доказано.

Все производные правила вывода доказаны.

Пусть F(S) — заданное множество функциональных зависимостей, заданных над схемой отношения S.

Обозначим через inv <F(S)> ограничение, накладываемое этим множеством функциональных зависимостей. Распишем его:

Итак, это множество ограничений, накладываемое функциональными зависимостями, расшифровывается следующим образом: для любого правила из системы функциональных зависимостей X > Y, принадлежащего множеству функциональных зависимостей F (S), действует ограничение функциональных зависимостей inv <X > Y> r(S), определенных над множеством отношения r(S) .

Пусть какое-то отношение r(S) удовлетворяет этому ограничению.

Применяя правила вывода Армстронга к функциональным зависимостям, определенным для множества F(S), можно получить новые функциональные зависимости, как уже было сказано и доказано нами ранее. И, что показательно, ограничениям этих функциональных зависимостей отношение F (S) будет автоматически удовлетворять, что видно из расширенной формы записи правил вывода Армстронга. Напомним общий вид этих расширенных правил вывода:

Правило вывода 1. inv < X > X > r(S);

Правило вывода 2. inv <X > Y> r(S) ? inv <X ? Z > Y> r(S) ;

Правило вывода 3. inv <X > Y> r(S) & inv <Y ? W > Z> r(S) ? inv <X ? W > Z>;

Возвращаясь к нашим рассуждениям, пополним множество F (S) новыми, выведенными из него же с помощью правил Армстронга зависимостями. Будем применять эту процедуру пополнения до тех пор, пока у нас не перестанут получаться новые функциональные зависимости. В результате этого построения мы получим новое множество функциональных зависимостей, называемое замыканием множества F(S) и обозначаемое F⁺(S) .

Действительно, такое название вполне логично, ведь мы собственноручно путем длительного построения «замкнули» множество имеющихся функциональных зависимостей само на себе, прибавив (отсюда «+») все новые функциональные зависимости, получившиеся из имеющихся.

Необходимо заметить, что этот процесс построения замыкания конечен, ведь конечна сама схема отношения, на которой и проводятся все эти построения.

Само собой разумеется, что замыкание является надмножеством замыкаемого множества (действительно, ведь оно больше!) и ни сколько не изменяется при своем повторном замыкании.

Если записать только что сказанное в формулярном виде, то получим:

Далее из доказанной истинности (т. е. законности, правомерности) правил вывода Армстронга и определения замыкания следует, что любое отношение, удовлетворяющее ограничениям заданного множества функциональных зависимостей, будет удовлетворять ограничению зависимости, принадлежащей замыканию.

Итак, теорема полноты системы правил вывода Армстронга утверждает, что внешняя импликация может совершенно законно и обоснованно быть заменена эквивалентностью.

(Доказательство этой теоремы мы рассматривать не будем, так как сам процесс доказательства не столь важен в нашем конкретном курсе лекций.)