поэтому мы и начинаем наши построения с нее;

Таким образом, с помощью унарной операции проекции, мы выделили все соединимые кортежи левого исходного отношения-операнда r₁ (S₁). Результат обозначили r₄(S₁) для удобства применения;

Здесь r₁(S₁) — все кортежи левого исходного отношения-операнда, а r₄(S₁) – его же кортежи, только соединимые. Таким образом, при помощи бинарной операции разности, в отношении r₅(S₁) у нас получились все несоединимые кортежи левого отношения-операнда;

{?(S₂)} — это новое отношение со схемой (S₂), содержащее всего один кортеж, причем составленный из Null-значений. Для удобства мы обозначили это отношение r₆(S₂);

Здесь мы взяли полученные в пункте три, несоединимые кортежи левого отношения-операнда (r₅(S₁)) и дополнили их на схеме второго отношения-операнда S₂ Null-значениями, т. е. декартово умножили отношение, состоящее из этих самых несоединимых кортежей на отношение r₆(S₂), определенное в пункте четыре;

Это и есть левое внешнее соединение, полученное, как можно видеть, объединением декартового произведения исходных отношений-операндов r₁ и r₂ и отношения r₇ (S₂ ? S₁), определенного в пункте пятом.

Теперь у нас имеются все необходимые выкладки для определения не только операции левого внешнего соединения, но по аналогии и для определения операции правого внешнего соединения. Итак:

1) операция левого внешнего соединения в строгом формулярном виде выглядит следующим образом:

2) операция правого внешнего соединения определяется подобным образом операции левого внешнего соединения и имеет следующий вид:

Эти две производные операции имеют всего два свойства, достойные упоминания.

1. Свойство коммутативности:

1) для операции левого внешнего соединения:

2) для операции правого внешнего соединения:

Итак, мы видим, что свойство коммутативности не выполняется для этих операций в общем виде, но при этом операции левого и правого внешнего соединения взаимно обратны друг другу, т. е. выполняется:

1) для операции левого внешнего соединения:

2) для операции правого внешнего соединения: