(ublue × κ2) + ν2 = νmax2
Значения в таблице выражены в различных единицах измерения, которые были выбраны таким образом, чтобы все количественные показатели состояли из двух или трех цифр. Если мы добавим множитель для согласования единиц измерения, то соотношение примет вид:
(78/144 × κ2) + ν2 = νmax2
Теперь скорость света определенного оттенка можно выразить простым отношением расстояния, пройденного светом, к длине соответствующего интервала времени. Импульсы света на первой диаграмме проходят расстояние AC за время BC, поэтому u = AC/BC. Воспользовавшись выведенными соотношениями между AC, BC и пространственной частотой κ, а также BC, BE и временной частотой ν, мы получим:
u = κ/ν
С традиционными единицами измерения эту формулу опять-таки можно использовать только после добавления соответствующего переводного коэффициента:
u = (ublue × κ)/ν
После подстановки частот из приведенной выше таблицы, последнее выражение принимает вид:
u = (78/144 × κ)/ν
Скорость, о которой до сих пор шла речь, – это безразмерная величина, зависящая от наклона линии, описывающей историю светового импульса на пространственно-временной диаграмме. (На наших диаграммах временная ось вертикальна, а пространственная горизонтальна, поэтому скорость фактически обратна наклону). Домножив безразмерную скорость на 78, то есть скорость голубого света, выраженную в пропастях на паузу, мы получаем значения в традиционных единицах, приведенных в таблице.
Приложение 3. Умножение и деление векторов
Путешественники Бесподобной придумали способ умножения и деления четырехмерных векторов, позволяющий построить на их основе полноценную числовую систему, похожую на более знакомые нам вещественные и комплексные числа. В нашей культуре эта система носит название кватернионов и была открыта Уильямом Гамильтоном в 1843 г. Подобно тому, как вещественные числа образуют одномерную прямую, а комплексные числа – двумерную плоскость, кватернионы формируют четырехмерное пространство, что делает их идеальной числовой системой для описания геометрии в четырех измерениях. В нашей Вселенной полноценное использование кватернионов невозможно в силу принципиального отличия между временем и пространством, однако в Ортогональной Вселенной геометрия 4-пространства и арифметика кватернионов органично сочетаются друг с другом.
В том варианте, который применяется жителями Бесподобной, главные направления четырехмерного пространства-времени называются Восток, Север, Верх и Будущее, а соответствующие им противоположные направления – Запад, Юг, Низ и Прошлое. Будущее играет роль единицы: при умножении или делении произвольного вектора на Будущее он не меняется. При возведении в квадрат любого из трех других главных направлений – Восток, Север и Верх – всегда получается Прошлое, или минус единица, поэтому в данной числовой системе существуют три независимых квадратных корня из минус единицы; для сравнения, в системе комплексных чисел такой корень всего один – это i. (Разумеется, что при возведении в квадрат противоположных направлений – Запад, Юг и Низ – также получается Прошлое по аналогии с тем, как в системе комплексных чисел квадрат –i также равен –1, однако эти направления не считаются независимыми квадратными корнями).
Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a × b, вообще говоря, не совпадает с b × a.
Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v-1, и удовлетворяющий следующему соотношению:
v × v-1 = v-1 × v = Будущее
Так, Восток-1 = Запад, Север-1 = Юг, Верх-1 = Низ, а Будущее-1 = Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно.
Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v-1 :
Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный:
(v × w)-1 = w-1× v-1
Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.
(v × w)-1 × (w-1× v-1) = v × Будущее× v-1 = Будущее
(w-1× v-1)× (v × w)-1 = w-1 × Будущее× w = Будущее
Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:
u / (v × w)= u × (v × w)-1 = u × w-1× v-1 = (u / w)/ v
Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:
v = a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее
Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:
w = A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее
Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:
v × w =
= (a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее)× (A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее) =
×
= aA∙ Восток × Восток + aB∙ Восток × Север +
+ aC∙ Восток × Верх + aD∙ Восток × Будущее +
+ bA∙ Север × Восток + bB∙ Север × Север +
+ bC∙ Север × Верх + bD∙ Север × Будущее +
+ cA∙ Верх × Восток + cB∙ Верх × Север +
+ cC∙ Верх × Верх + cD∙ Верх × Будущее +
+ dA∙ Будущее × Восток + dB∙ Будущее × Север +
+ dC∙ Будущее × Верх + dD∙ Будущее × Будущее =
= (aD + bC – cB + dA) ∙ Восток +
+ (–aC + bD + cA + dB) ∙ Север +
+ (aB – bA + cD + dC) ∙ Верх +
+ (–aA — bB – cC + dD) ∙ Будущее
Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:
|v|2 = a2 + b2 + c2 + d2
При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:
|v × w| = |v||w|
Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v:
v* = – a ∙ Восток – b ∙ Север – c ∙
