Чтобы каждая клетка оказалась под угрозой нападения, а каждый слон защищен другим слоном, необходимо иметь 10 слонов. Я привожу на рисунке одно из расположений. Можно заметить, что 2 центральных слона в группе из 6 слонов слева нужны лишь для того, чтобы защищать слонов, стоящих на соседних клетках. Следовательно, другое решение получится, если верхнего из этих двух слонов мы поднимем на клетку вверх, а нижнего опустим на клетку вниз.
126. Четырнадцать слонов можно расположить 256 различными способами. Но каждого слона следует всегда помещать на одной из сторон доски (то есть где-то на крайней горизонтали или вертикали). Таким образом, головоломка состоит в том, чтобы определить число различных способов, какими мы можем расставить 14 слонов по краям доски так, чтобы они не атаковали друг друга. Сделать это нетрудно. На доске размером n х n клеток 2n — 2 слона (максимальное число) всегда можно расположить 2n способами так, чтобы они не атаковали друг друга. На обычной шахматной доске n = 8, следовательно, на ней 14 слонов можно расположить 256 различными способами. Довольно удивительно, что в общем случае получается такой простой ответ.
127. Решение этой головоломки показано на рисунке. Можно заметить, что ни один ферзь не атакует друтого и что никакие три ферзя не располагаются на одной наклонной прямой. Это единственное расположение из 12 фундаментальных решений, удовлетворяющее последнему условию.
128. Решение этой головоломки приведено на рисунке слева. Это единственное решение, удовлетворяющее заданным условиям. Однако если бы одна из 8 звезд не была уже предварительно помещена на рисунке, то существовало бы 8 способов расположения, получающихся из данного с помощью поворотов и отражений. Так, если вы будете поворачивать рисунок, чтобы при этом каждая из сторон квадрата оказалась по очереди внизу, то получите 4 решения, а если для каждого из них вы построите зеркально-симметричное решение, то добавится еще 4 решения. Следовательно, эти 8 решений представляют собой лишь вариации одного «фундаментального» решения. Но в случае, когда место одной из звезд предварительно не фиксируется, существует и другое фундаментальное решение, показанное на рисунке справа. Однако это расположение обладает определенной симметрией и потому порождает только 4 решения.
129. На рисунке показано, как следует переложить плитки. Как и прежде, не хватает одной желтой и одной розовой плиток. Я хотел бы подчеркнуть, что в предыдущем расположении желтую и розовую плитки в седьмой горизонтали можно поменять местами, но никакое иное расположение невозможно.
130. При некоторых расположениях получается больше диагональных слов из четырех букв, чем при других, и мы сначала поддаемся искушению отдать им предпочтение; но это ложный след, поскольку все, что мы выигрываем в диагональных направлениях, мы проигрываем вдоль вертикалей и горизонталей. Конечно, тому, кто решает эту задачу, сразу приходит в голову, что слова LIVE и EVIL стоят вдвое больше других слов, ибо их мы всегда считаем дважды. Это важное наблюдение, хотя порой те расположения, которые содержат больше всего таких слов, оказываются бесплодными в отношении других, и мы в целом остаемся в проигрыше.
Приведенное на рисунке расположение удовлетворяет условию, согласно которому никакие две одинаковые буквы не должны находиться на одной вертикали, горизонтали или диагонали; и оно приводит к тому, что данные 5 слов удается прочитать 20 раз — 6 по горизонтали, 6 по вертикали, 4 вдоль диагоналей, отмеченных стрелками слева, и 4 вдоль диагоналей, отмеченных стрелками справа. Это максимум.
Четыре множества из восьми букв можно расположить на доске с 64 клетками 604 различными способами, при которых никакие две одинаковые буквы не находятся на одной прямой. При этом расположения, получающиеся друг из друга с помощью поворотов и отражений, не считаются различными и, кроме того, не учитываются перестановки внутри самих букв, то есть, например, перемена местами букв L и Е.
Далее: странно не только то, что приведенное расположение с 20 словами оказывается максимальным, но также и то, что максимум можно получить лишь из этого расположения. Однако если вы поменяете местами в данном решении буквы V с буквами I, a L — с Е, то получите по-прежнему 20 слов. Следовательно, существуют 2 способа достичь максимума из одного и того же расположения. Минимальное число слов равно нулю, то есть буквы можно расположить таким образом, чтобы ни по какому направлению не удавалось прочесть ни одного слова.
131. Обозначим буквами А, К, Q, J соответственно туза, короля, даму и валета, а буквами D, S, Н, С — бубны, пики, червы и трефы. На рисунке приведены два способа, 1 и 2, расположения букв каждой группы, при которых никакие две одинаковые буквы не располагаются на одной прямой, хотя поворот на четверть оборота расположения 1 приведет к расположению 2. Если мы наложим друг на друга эти два квадрата, то получим расположение 3, дающее одно решение. Но в каждом квадрате мы можем переставить буквы на верхней горизонтали 24 способами, не меняя схемы расположения. Так, на рисунке 4 буквы S помещены на место букв D из расположения 2, буквы Н — на место S, С — на место Н и D — на место С. Отсюда, очевидно, следует, что два исходных расположения можно скомбинировать 24 х 24 = 576 способами. Однако ошибка, которую сделал Ля-босн, состояла в том, что А, К, Q, J он располагал способом 1, a D, S, Н, С — способом 2. Таким образом, он учел отражения и повороты на пол-оборота, но проглядел повороты на четверть оборота. Очевидно, их можно менять местами. Поэтому, если отражения и повороты считать новыми решениями, правильным ответом будет 2 х 576 = 1152. По-другому можно сказать, что пары на верхней горизонтали можно записать 16 х 9 х 4 х 1 = =
