Все мои читатели знают, что такое магический квадрат. Числа от 1 до 9 можно разместить в квадрате, содержащем девять клеточек, так, чтобы сумма вдоль любой вертикали, горизонтали или диагонали равнялась 15. Это очень просто; и существует только одно решение данной головоломки, ибо расположения, которые получаются из данного с помощью поворотов и зеркальных отражений, мы не рассматриваем как новые. Далее, если мы хотим составить магический квадрат из 16 чисел, от 1 до 16, то здесь существует 880 различных способов, опять же без учета поворотов и зеркальных отражений. Окончательно это было доказано в последние годы. Но сколько магических квадратов удается образовать из 25 чисел, от 1 до 25, никому не ведомо, и нам еще придется развить наши знания в некоторых направлениях, прежде чем мы можем надеяться решить эту головоломку. Но удивительно, что удается построить ровно 174 240 таких квадратов при единственном дополнительном ограничении: чтобы внутренний квадрат из девяти клеточек сам был магическим. Я показал, каким образом это число можно удвоить, преобразуя каждое решение с внутренним магическим квадратом в решение без такого квадрата.
Предпринимались также тщетные попытки построить магический квадрат так называемым «ходом коня» на шахматной доске, нумеруя последовательные клетки в соответствии с ходами шахматного коня: 1, 2, 3, 4 и т. д. Это удается сделать по всем направлениям, за исключением двух диагоналей, которые до сих пор сводили на нет все усилия. Но не факт, что этого вообще сделать нельзя.
Хотя содержание данного сборника в основном оригинально, все же вы можете встретить и нескольких старых друзей, однако и они, я верю, не окажутся нежеланными гостями в тех новых одеждах, которые получили. Головоломки различны по сложности и носят столь разнообразный характер, что, быть может, не будет слишком дерзкой надежда на то, что каждый истинный их любитель найдет обильный (и, может быть, поучительный) материал на свой вкус. В одних случаях я приводил достаточно длинные решения, в других же счел нужным ограничиться голым ответом. Если бы для каждой головоломки пришлось давать полное решение и обоснование, то либо половину головоломок пришлось бы опустить, либо объем книги увеличился бы до огромных размеров. План, которого я придерживался, имеет свои преимущества, ибо оставляет для энтузиаста возможность самостоятельных исследований. Даже в тех случаях, где я привел общую формулу, он сможет проверить ее сам.
КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Случилось так, что компания паломников, направляющихся на богомолье к святым мощам Фомы Бекета в Кентербери, ненароком встретилась в старой харчевне «Табард», позднее известной как «Табольд», в Соуер-ке, близ Лондона, и трактирщик предложил им коротать дорожную скуку, рассказывая по очереди всякие занимательные истории. Именно так, как известно, начинается бессмертное произведение великого поэта XLV века Джеффри Чосера «Кентерберийские рассказы». К несчастью, эти рассказы не были закончены, и, может быть, именно поэтому причудливые и любопытные «Кентерберийские головоломки» тоже не были увековечены пером прославленного поэта. Это тем более досадно, что мнение Чосера, который, по дошедшим до нас сведениям, был «изобретательным математиком» и автором «Трактата об астролябии», здесь особенно пригодилось бы. Представляя впервые некоторые из этих головоломок былых времен, я не стану задерживать внимание читателя на объяснении того, каким необычным образом они попали в мои руки, а прямо сейчас, без лишних разговоров дам возможность оценить их качество. Конечно, ныне встречаются головоломки и потруднее, но ведь трудность и занимательность — качества, которые вовсе не обязательно неотделимы друг от друга.
1. Головоломка Мажордома. Мажордом был хитрым и достаточно образованным человеком. По словам Чосера, «так овцам счет умел вести он, акрам и так подчистить свой амбар иль закром, Что сборщики все оставались с носом. Он мог решать сложнейшие вопросы...»[5] Поэт отмечает также, что «он никогда не попадал впросак». Всякого рода забавные задачи и причудливые идеи без труда возникали в его остром уме. В одной придорожной таверне, где остановились паломники, его бдительный взор обнаружил несколько кругов сыра разной величины. И вот, попросив четыре табурета, он предложил показать одну из своих головоломок, которая могла бы позабавить путников во время отдыха. Затем Мажордом положил на крайний табурет восемь кругов сыра так, как это показано на рисунке.
— Вот загадка, — воскликнул он, — которую я задал однажды своим приятелям из Болдсуэлла, что находится в Норфолке, и, клянусь святым Иосифом, среди них не нашлось ни одного, кто осилил бы ее! Однако она очень проста, ибо все, что я хочу, так это чтобы, перекладывая сыры с одного табурета на другой, вы перенесли все их на табурет, стоящий на другом конце, ни разу не положив какой-нибудь круг сыра на круг меньшего размера. Того, кто сумеет это сделать с наименьшим числом перекладываний, угощу я глотком самого лучшего вина, какое только найдется у нашего доброго хозяина.
Интересно решить эту головоломку с наименьшим числом перекладываний сначала с 8, затем с 10 и, наконец, с 21 кругом сыра.
2. Головоломка Продавца папских индульгенций. Кроткий Продавец папских индульгенций, «с товаром воротясь из Рима», попросил было пощады, но компания миловать его не собиралась.
— Друзья и братья-паломники, — сказал он, — по правде говоря, моя задачка простовата, но лучшей придумать я не смог.
Однако его выдумка встретила хороший прием. Он развернул план, приведенный на рисунке, и пояснил, что на нем изображены шестьдесят четыре города, которые он должен был посетить, и соединяющие их дороги. Он пояснил далее, что отправной точкой ему служил город, обозначенный заштрихованным квадратом. Служителю церкви следовало посетить каждый из оставшихся городов по одному и только одному разу за 15 переходов, причем каждый переход должно было совершить по прямой. Кончить свой путь можно где угодно, но нельзя упускать из виду, что отсутствие короткой дороги в нижней части рисунка не случайно — пути здесь нет.
3. Головоломка Мельника. Теперь очередь была за Мельником. Этот «ражий малый, костистый, узловатый и бывалый» отвел компанию в сторону и показал девять мешков с зерном, которые стояли, как показано на рисунке.
— Слушайте и внемлите, — сказал он, — я загадаю вам загадку про эти мешки пшеницы. И
