На втором месте по эффективности оптимизации унимодальной целевой функции (прибыль) находится метод покоординатного подъема. Хотя он несколько уступает по всем показателям (кроме процента неудовлетворительных оптимальных решений) методу Хука−Дживса, его несомненным достоинством является относительно небольшое количество требуемых вычислений (в среднем 319, что в четыре раза меньше, чем требуется при использовании метода Хука−Дживса).
Метод Розенброка существенно уступает по эффективности двум предыдущим методикам. Лишь в 11 % случаев с помощью этого метода удалось обнаружить узел глобального максимума, а в 41 % случаев алгоритм остановился на ячейках, относящихся к областям с низкими значениями целевой функции. Кроме того, количество вычислений, требуемых для нахождения оптимальных решений, по методу Розенброка оказалось достаточно большим (в среднем 835), находясь на втором месте после метода Хука−Дживса.
Наихудшие результаты были получены для метода Нелдера – Мида. Хотя количество вычислений для этого метода оказалось наименьшим по сравнению с другими методами, все показатели его эффективности находятся на очень низком уровне. Всего в 7 % случаев решение совпало с глобальным максимумом и лишь в 15 % случаев оптимальное решение находилось в оптимальной области. В 60 % случаев решения оказались неудовлетворительными.
Для другого оптимизационного пространства, построенного на основе целевой функции «процент прибыльных сделок», эффективность методов покоординатного подъема Хука−Дживса и Розенброка оказалась приблизительно одинаковой (если не считать того, что последний метод был несколько хуже по показателю «процент попаданий в оптимальную область»). Метод Нелдера – Мида вновь показал наихудшие результаты. Такая низкая эффективность данного метода весьма удивительна. Возможно, она объясняется тем, что для успешного применения этого метода необходимо тщательно подбирать стартовые условия (размер симплекса), а также значения его многочисленных параметров (коэффициенты отражения, сжатия, редукции, расширения). Мы же выбрали размер симплекса произвольно, а для коэффициентов приняли обычно используемые значения. Вероятно, для получения удовлетворительных результатов необходима более тонкая настройка параметров и некоторые априорные предположения о свойствах оптимизационного пространства.
Для оптимизационного пространства, соответствующего целевой функции «процент прибыльных сделок», эффективность всех четырех методов оптимизации оказалась значительно ниже по сравнению с их эффективностью на пространстве функции «прибыль». Это подтверждает наше предположение о том, что форма оптимизационного пространства оказывает значительное влияние на эффективность оптимизации. По всей видимости, унимодальные пространства с относительно широкой оптимальной зоной легче поддаются оптимизации методами целенаправленного поиска, чем полимодальные пространства с большим количеством раздробленных оптимальных областей.
2.7.3. Случайный поиск
До сих пор мы рассматривали два подхода к оптимизации – полный перебор, требующий вычисления целевой функции во всех узлах оптимизационного пространства, и целенаправленный поиск. Возможен еще один подход, состоящий в вычислении целевой функции в случайно выбранных узлах оптимизационного пространства. Безусловно, случайный поиск представляет собой самый простой способ оптимизации. Для его реализации достаточно выбрать случайным образом заданное количество узлов и рассчитать значения целевой функции для каждого из них. После этого узел с наибольшим значением выбирается в качестве оптимального решения. Этот метод настолько примитивен, что зачастую вообще не рассматривается в качестве приемлемой методики. Тем не менее во многих случаях (и по многим показателям) случайный поиск может дать достаточно эффективные результаты, не уступающие методам целенаправленного поиска.
Основной и единственный фактор, влияющий на эффективность случайного поиска, – это количество выбираемых ячеек. Чем больше делается попыток, тем выше вероятность того, что оптимальное решение совпадет с глобальным максимумом или будет лежать в непосредственной близости от него. При этом количество попыток должно определяться в зависимости от размеров оптимизационного пространства. В наших примерах это пространство состоит из 3600 ячеек. Если для случайного поиска в таком пространстве использовать 100 попыток, то обследованными окажутся менее 3 % ячеек, что, очевидно, недостаточно для нахождения удовлетворительного оптимального решения. Однако если оптимизационное пространство состоит из 500 ячеек, то 100 попыток составят 20 %, что может оказаться достаточным.
В этом разделе мы проанализируем три аспекта эффективности случайного поиска:
1. Зависимость эффективности поиска от количества случайно выбираемых узлов. Эффективность будет тестироваться для 100, 200, …, 1000 попыток (всего 10 вариантов количества выбираемых узлов).
2. Влияние формы оптимизационного пространства на эффективность случайного поиска. Как и в предыдущем разделе, мы применим метод случайного поиска к оптимизационным пространствам, соответствующим целевым функциям «прибыль» и «процент прибыльных сделок».
3. Сравнение эффективности случайного поиска с двумя методами целенаправленного поиска – покоординатным спуском и методом Хука−Дживса (которые оказались наиболее эффективными среди других методов целенаправленного поиска).
Для анализа эффективности случайного поиска воспользуемся теми же показателями, которые использовались для сравнения четырех методов целенаправленного поиска (таблица 2.7.1).
Как и следовало ожидать, значения всех показателей растут по мере увеличения количества случайно выбранных узлов (рис. 2.7.5 и 2.7.6). Однако темпы этого роста зависят от каждого конкретного показателя. Более того, форма зависимости эффективности поиска от количества попыток различна для разных показателей. Процент оптимальных решений, совпадающих с глобальным максимумом, увеличивается линейно с ростом количества проверенных узлов. С другой стороны, процент оптимальных решений, расположенных в оптимальной области, и среднее значение целевой функции всех оптимальных решений растут нелинейно по мере увеличения количества попыток: в начале рост происходит быстрыми темпами, затем дальнейшее увеличение числа попыток приводит лишь к незначительному росту эффективности поиска.
Эффективность случайного поиска выше для оптимизационного пространства, соответствующего целевой функции «прибыль» по сравнению с пространством «процент прибыльных сделок» (сравни левые графики рис. 2.7.5 и 2.7.6). Это полностью совпадает с результатами целенаправленного поиска, полученными в предыдущем разделе. Кроме того, для целевой функции «прибыль» изменчивость показателя «среднее значение оптимального решения» уменьшается при увеличении числа попыток (правый график рис. 2.7.5). В то же время для целевой функции «процент прибыльных торговых циклов» такая зависимость не наблюдается (правый график рис. 2.7.6).
По показателю «процент оптимальных решений, совпадающих с глобальным максимумом» случайный поиск уступает покоординатному подъему и методу Хука−Дживса. Однако при использовании достаточного количества попыток случайный поиск оказывается более эффективным по двум другим показателям. Для целевой функции «прибыль» случайный поиск становится эффективнее покоординатного подъема по показателям «среднее значение оптимального решения» и «процент попадания в оптимальную область» начиная с 400 попыток. При использовании 500 попыток данный метод превосходит и вторую методику, Хука−Дживса (сравни рис. 2.7.5 с данными таблицы 2.7.1). Для целевой функции «процент прибыльных сделок» случайный поиск становится эффективнее покоординатного подъема и метода
