и действительно также для всего остального, что мы хотим сообщить друг другу, в особенности для научных и философских мысленных картин более высокого и высшего рода. Пример – но всего лишь пример тому – доставляет нам так называемая аксиоматизация математики. Она состоит в том, что для определенных фундаментальных понятий (например, натуральное число, точка, прямая, плоскость) делается ряд предложений (аксиом) без доказательства: «каждое натуральное число имеет одно и только одно последующее» или «две различные точки определяют одну и только одну прямую». Из этих аксиом чисто логическим путем должны быть выведены все положения математики или некоторой ее частной области. Эти аксиомы верны независимо от какого- либо наглядного значения основных понятий или от того, оказываются ли эти аксиомы приемлемыми с оглядкой на это значение или нет. Они должны быть только непротиворечивыми, что часто совсем не просто доказать.

Особенно простой и ясный пример аксиоматизации дает проективная геометрия на плоскости. Основные образы здесь – точка и прямая. Основное понятие – принадлежность одного образа другому (точка лежит на прямой или, что то же самое, прямая проходит через точку). Две аксиомы гласят, что два различных образа одного рода принадлежат одному и только одному образу другого рода. Остальные четыре аксиомы для нас несущественны, за исключением того, что они симметричны относительно обоих родов объектов; они гласят: если три образа одного рода принадлежат одному образу другого, то среди образов первого, для которых справедливо то же самое, есть один, однозначно выделенный, который гармонически сопряжен первым трем. Безразлично, что именно это означает, существенно лишь, что в результате дополнения четвертым гармоническим каждое из этих четырех является четвертым гармоническим для трех остальных. Наконец, если четыре образа второго рода, принадлежащие одному образу первого рода, гармонически сопряжены, а пятый образ второго рода не принадлежит упомянутому выше образу первого рода, то четыре образа первого рода, принадлежащие четырем точкам пучка и пятому образу второго рода, также образуют гармоническую четверку образов. Эти предложения легче понять, если вместо образов первого рода говорить «прямые», а вместо второго – «точки» или наоборот. Вследствие полной симметрии всех аксиом можно в каждом правильно выведенном предложении всюду поменять местами слова «точка» и «прямая» и получить снова предложение, т. е. утверждение, логически вытекающее из аксиом, так называемое двойственное. Наглядные картины, отвечающие таким парам предложений, вообще говоря, совершенно различны, сами предложения часто были найдены в разное время различными исследователями независимо друг от друга, когда дуальность не была еще известна, например, теоремы Паскаля и Брианшона.

Оставим теперь только что обсуждавшийся геометрический пример, являющийся третьим замечанием на тему о том, что при чувственном восприятии в первую очередь, а затем и при мысленных построениях также подходят к структуре, а не к строительным камням и что надежное понимание возможно в лучшем случае о первом, а не о втором. Далее следует четвертое замечание.

Еще и сегодня кое-где, особенно в учебниках для старших классов – потому что авторы не стремятся к большой точности – бродит как «древнее привидение» легенда о том, что в нашем чувственно воспринимаемом мире, который для этой цели проще всего представлять себе реально существующим, можно легко и удобно различать два рода атрибутов – первичные и вторичные. Первые касаются образа, относительного положения и движения, вторые же – всего остального. В отношении первых мы можем полностью доверять своим органам чувств, а остальное – свободная примесь, которую мы добавляем от себя. Думают, говоря наглядно, о чем-то подобном контурным картинкам, которые дети, каждый на свой манер, закрашивают акварельными красками.

Еще Лейбниц выступал против этого предрассудка, но он оказался живучим. Нет смысла пытаться доказывать, что он ложен, так как это не проходит в той же степени, как мало можно опровергнуть предположение, что где-то между внегалактическими туманностями существует замкнутое пространство, где человекоподобные существа, только с крыльями, в длинных белых одеяниях со шлейфами волшебно музицируют и изображают рай[73]. В обоих случаях бремя доказательства ложится на защитников фантастического утверждения. Невозможно усмотреть причину, по которой наглядные представления, связанные с образом и кинематикой, должны быть сильнее гарантированы в «действительно существующем» мире тел, чем цветовые, термические, звуковые и т. д. В нашем мире восприятий действительного наличествуют и те, и другие. Взаимное понимание во всех случаях, вероятно, ограничивается структурами.

Как, однако, может быть понята более или менее совершенная тождественность структур, которую наше окружение имеет, по-видимому, почти для всех людей, даже в большей степени и для животных? Так, например, перед внезапно вырывающимся перед всадником пламенем или перед неожиданно появляющемся обрывом, лошадь так же, как и всадник, испуганно шарахается назад. И это только один из тысячи примеров, которые можно было бы поставить в один ряд. Должен ли тот, кто предпочитает не сводить столь полное взаимное согласие на мир тел, как на общую его причину, рассматривать это просто как волшебное событие, которое мы снова и снова обнаруживаем с безошибочной достоверностью, если отвлечься от галлюцинаций и снов?

Нет, ни в коем случае.