и строят гримасы, когда им говорят в общей форме, что единица и множественность являются нераздельными, проникающими друг друга понятиями и что множественность так же содержится в единице, как и единица в множественности. А в какой мере дело обстоит именно так, это мы видим, лишь только мы покидаем область чистых чисел. Уже при измерении линий, площадей и объемов обнаруживается, что мы можем принять за единицу любую величину соответствующего порядка, и то же самое относится к измерению времени, веса, движения и т. д. Для измерения клеток миллиметры и миллиграммы еще слишком велики, для измерения звездных расстояний или скорости света километр уже неудобен из-за малой величины, как мал килограмм для измерения масс планет, а тем более Солнца. Здесь с очевидностью обнаруживается, какое многообразие и какая множественность содержатся в столь простом на первый взгляд понятии единицы.

Оттого что нуль есть отрицание всякого определенного количества, он не лишен содержания. Наоборот, нуль имеет весьма определенное содержание. Как граница между всеми положительными и отрицательными величинами, как единственное действительно нейтральное число, не могущее быть ни положительным, ни отрицательным, он не только представляет собой весьма определенное число, но и по своей природе важнее всех других, ограничиваемых им чисел. Действительно, нуль богаче содержанием, чем всякое иное число. Прибавленный к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет данное число. Вместо нуля для этой цели можно было бы применить любой другой знак, но лишь при том условии, чтобы этот знак, взятый сам по себе, означал нуль, был бы равен нулю. Таким образом, в самой природе нуля заключено то, что он находит такое применение и что только он один может получить такое применение. Нуль уничтожает всякое другое число, на которое его умножают; если его сделать делителем или делимым по отношению к любому другому числу, то это число превращается в первом случае в бесконечно большое, а во втором случае – в бесконечно малое; нуль есть единственное число, находящееся в бесконечном отношении к любому другому числу. Дробь ⁰/₀ может выражать любое число между —? и +? и представляет в каждом случае некоторую действительную величину. – Действительное содержание какого-нибудь уравнения обнаруживается со всей ясностью лишь тогда, когда все члены его перенесены на одну сторону и уравнение тем самым приравнено к нулю, как это имеет место уже в квадратных уравнениях и как это является почти общим правилом в высшей алгебре. Функцию F (x, y) = 0 можно затем приравнять также к некоторому z, чтобы дифференцировать этот z, хотя он = 0, как обыкновенную зависимую переменную и получить его частную производную.

Но ничто от каждого отдельного определенного количества само имеет еще количественное определение, и лишь поэтому можно оперировать нулем. Те самые математики, которые без всякого стеснения оперируют с нулем вышеуказанным образом, т. е. оперируют с ним как с определенным количественным представлением, приводя его в количественные отношения к другим количественным представлениям, – поднимают страшный вопль, когда находят это у Гегеля в такой обобщенной форме: ничто от некоторого нечто есть некое определенное ничто.

Перейдем теперь к (аналитической) геометрии. Здесь нуль – определенная точка, начиная от которой на данной прямой в одном направлении отсчитываются положительные величины, а в противоположном – отрицательные. Таким образом, здесь нулевая точка не только так же важна, как любая точка, обозначаемая при помощи некоторой положительной или отрицательной величины, но и гораздо важнее всех их; это – та точка, от которой все они зависят, к которой все они относятся, которой они все определяются. Во многих случаях она может браться даже совершенно произвольным образом. Но раз она взята, она остается средоточием всей операции, часто даже определяет направление той линии, на которую наносятся другие точки, конечные точки абсцисс. Если, например, чтобы получить уравнение круга, мы примем любую точку периферии за нулевую точку, то линия абсцисс должна проходить через центр круга. Все это находит свое применение также и в механике, где точно так же при вычислении движений принятая в том или другом случае нулевая точка образует главный пункт и стержень всей операции. Нулевая точка термометра – это вполне определенная нижняя граница температурного отрезка, разделяемого на произвольное число градусов и служащего благодаря этому мерой температур как внутри самого себя, так и более высоких или более низких температур. Таким образом, и здесь нулевая точка является весьма существенной точкой. И даже абсолютный нуль термометра представляет отнюдь не чистое абстрактное отрицание, а очень определенное состояние материи – именно ту границу, у которой исчезает последний след самостоятельного движения молекул и материя действует только как масса.

Итак, где бы мы ни встречались с нулем, он повсюду представляет нечто весьма определенное, и его практическое применение в геометрии, механике и т. д. доказывает, что в качестве границы он важнее, чем все действительные, ограничиваемые им величины.

Нулевые степени. Их значение в логарифмическом ряду:

0 1 2 3 log

10⁰, 10¹, 10², 10^3. Все переменные проходят где-нибудь через значение единицы; таким образом, также и постоянная в переменной степени (О) равняется единице, когда х = 0. Выражение a° = 1 не означает ничего другого, кроме того, что единица берется в ее связи с другими членами ряда степеней о. Только в этом случае оно имеет смысл и может дать полезные результаты (?x° = ^х/_?)[566], в противном же случае – нет. Отсюда следует, что и единица, как бы она ни казалась тождественной самой себе, заключает в себе бесконечное многообразие, ибо она может быть нулевой степенью любого другого числа; а что это многообразие отнюдь не воображаемое, обнаруживается всякий раз, когда единица рассматривается как определенная единица, как один из переменных результатов какого-нибудь процесса (как мгновенная величина или форма некоторой переменной) в связи с этим процессом.

v–1. – Отрицательные величины алгебры реальны лишь постольку, поскольку они соотносятся с положительными величинами,