всё можно изобразить в противоположной форме.

Степень – в виде корня (х² = vx⁴), корень – в виде степени (vx = х²). Единицу, деленную на степень или на корень, – в виде степени знаменателя (1/_vx = х²;/х³ = х). Умножение или деление степеней какой-нибудь величины превращается в сложение или вычитание их показателей. Каждое число можно рассматривать и изображать в виде степени всякого другого числа (логарифмы, y = ax). И это превращение из одной формы в другую, противоположную, вовсе не праздная игра, – это один из самых могучих рычагов математической науки, без которого в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычисления. Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики хотя бы только отрицательные и дробные степени, – и он увидит, что без них далеко не уедешь.

(—. – = +, ? = + v –1 и т. д. разобрать до этого).

Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем.

Количество и качество. Число есть чистейшее количественное определение, какое мы только знаем. Но оно полно качественных различий. 1) Гегель, численность и единица, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Уже благодаря этому получаются, – чего не подчеркнул Гегель, – качественные различия: простые числа и произведения, простые корни и степени. 16 есть не только суммирование 16 единиц, оно также квадрат от 4 и биквадрат от 2. Более того, простые числа сообщают числам, получающимся из них путем умножения на другие числа, новые, вполне определенные качества: только четные числа делятся на два; аналогичное определение – для 4 и 8. Для деления на 3 мы имеем правило о сумме цифр. То же самое в случае 9 и 6, где оно соединяется также со свойством четного числа. Для 7 особый закон. На этом основываются фокусы с числами, которые непосвященным кажутся непонятными. Поэтому неверно то, что говорит Гегель («Количество», стр. 237) о мыслительной скудости арифметики. Ср., однако: «Мера»[563].

Говоря о бесконечно большом и бесконечно малом, математика вводит такое качественное различие, которое имеет даже характер непреодолимой качественной противоположности: мы имеем здесь количества, столь колоссально отличные друг от друга, что между ними прекращается всякое рациональное отношение, всякое сравнение, и что они становятся количественно несоизмеримыми. Обычная несоизмеримость, например несоизмеримость круга и прямой линии, тоже представляет собой диалектическое качественное различие; но здесь[564] именно количественная разница однородных величин заостряет качественное различие до несоизмеримости.

Число. Отдельное число получает некоторое качество уже в числовой системе и сообразно тому, какова эта система. 9 есть не только суммированная девять раз 1, но и основание для 90, 99, 900 000 и т. д. Все числовые законы зависят от положенной в основу системы и определяются ею. В двоичной и троичной системе 2^х2 не = 4, а = 100 или = 11. Во всякой системе с нечетным основанием теряет свою силу различие четных и нечетных чисел. Например, в пятеричной системе 5 = 10, 10 = 20, 15 = 30. Точно так же в этой системе теряет свою силу правило о сумме цифр, делящейся на 3, для чисел кратных трем, resp.[565] девяти (6 = 11, 9 = 14). Таким образом, основание числовой системы определяет качество не только себя самого, но и всех прочих чисел.

Если мы возьмем степенное отношение, то здесь дело идет еще дальше: всякое число можно рассматривать как степень всякого другого числа – существует столько систем логарифмов, сколько имеется целых и дробных чисел.

Единица. Ничто не выглядит проще, чем количественная единица, и ничто не оказывается многообразнее, чем эта единица, коль скоро мы начнем изучать ее в связи с соответствующей множественностью, с точки зрения различных способов происхождения ее из этой множественности. Единица – это, прежде всего, основное число всей системы положительных и отрицательных чисел, благодаря последовательному прибавлению которого к самому себе возникают все другие числа. – Единица есть выражение всех положительных, отрицательных и дробных степеней единицы: 1², v1, 1 ^{– 2} все равны единице. – Единица есть значение всех дробей, у которых числитель и знаменатель оказываются равными. – Она есть выражение всякого числа, возведенного в нулевую степень, и поэтому она единственное число, логарифм которого во всех системах один и тот же, а именно = 0. Тем самым единица есть граница, делящая на две части все возможные системы логарифмов: если основание больше единицы, то логарифмы всех чисел, больших единицы, положительны, а логарифмы всех чисел, меньших единицы, отрицательны; если основание меньше единицы, то имеет место обратное.

Таким образом, если всякое число содержит в себе единицу, поскольку оно составляется из одних лишь сложенных друг с другом единиц, то единица, в свою очередь, содержит в себе все другие числа. Не только в возможности, поскольку мы любое число можем построить из одних только единиц, но и в действительности, поскольку единица является определенной степенью любого другого числа. Однако те самые математики, которые непринужденнейшим образом вводят, где им это удобно, в свои выкладки х⁰ = 1 или же дробь, числитель и знаменатель которой равны и которая тоже, значит, представляет единицу, – математики, которые, следовательно, применяют математическим образом содержащуюся в единице множественность, морщат нос