§ 59. Cуммa углов многоугольника
Мы знаем, что сумма углов у всех треугольников одна и та же (180°). Рассмотрим теперь, одинакова ли сумма углов у всех четырехугольников, у всех пятиугольников – вообще у всех «одноименных» многоугольников.
Для примера возьмем ш е с т и у г о л ь н и к (черт. 165). Проведем из какой-нибудь его вершины, напр., из
Каковы бы ни были форма и размеры шестиугольника, он разбивается на 4 треугольника, и следовательно, сумма углов всякого шестиугольника = 180° 4 = 720°.
Если бы вместо шестиугольника, мы взяли многоугольник с другим числом сторон, например, девяти-угольник, то разбили бы его диагоналями не на 4, а на 7 треугольников; поэтому сумма углов всякого девяти-угольника равна 180° 7= 1260°.
Таким же образом найдем, что сумма углов всякого четырехугольника 180° 2 = 360°, пятиугольника 180° 3 = 540° и т. д.
Нетрудно подметить общее правило: с у м м а у г л о в в с я к о г о м н о г о у г о л ь н и к а р а в н а 180° у м н о ж е н н ы м н а ч и с л о е г о с т о р о н б е з д в у х.
§ 60. Правильные многоугольники
Многоугольник, у которого все углы и все стороны одинаковы называются п р а в и л ь н ы м.
Величину каждого угла правильного многоугольника легко вычислить, раз мы умеем вычислять сумму всех этих углов и знаем, что они одинаковы. Например, каждый угол правильного пятиугольника равен 540°/5= 108°,
правильного шестиугольника равен 720°/6= 120°, и т. д.
Применения
67. Как убедиться, что шестиугольными плитками можно покрыть пол сплошь, без промежутков?
Р е ш е н и е. Сумма углов правильного шестиугольника равна 180° [6 – 2] = 720°, и следовательно, каждый из внутрених углов = 720°/6 =120°.Так как сумма углов, расположенных вокруг общей вершины, равна 360°, то разделив 360: 120, узнаем, что, углы трех соседних плиток, должны плотно примкнуть друг к другу.
68. Можно ли сплошь покрыть пол восьмиугольными плитками?
Решение. Внутренний угол правильного восьмиугольника = 180°[8–2]/ 8 = 125°. Так как этот угол не содержится в 360° целое число раз то покрыть такими плитками пол с п л о ш ь нельзя.
X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОКРУЖНОСТЯХ
