больше одного перпендикуляра, – скажем, кроме АВ еще АС, – то в треугольнике ABCоказалось бы два прямых угла, а это, мы знаем, невозможно.

5) Н е с к о л ь к о п е р п е н д и к у л я р о в к о д н о й п р я м о й л и н и и (черт. 48) в с е г д а п ар а л л е л ь н ы

м е ж д у с о б о ю. Если бы они были не параллельны, т. е. если бы они встречались, то составились бы треугольники с двумя прямыми углами каждый.

6) П р я м ы е л и н и и, в с т р е ч а ю щ и е о д н у и т у ж е п р я м у ю п о д р а в н ы м и с о о т в е т с т в е н н ы м и

у г л а м и (черт. 51), п а р а л л е л ь н ы м е ж д у с о б о й. – Если бы они были не параллельны, т. е. если бы встречались, то уг. 2, например, оказался бы внешним углом треугольника, а р а в н ы й е м у уг. 1 – внутренним углом того же треугольника; но это невозможно (см. следствие 3-е).

На последнем свойстве основан способ проводить параллельные линии с помощью линейки и чертежного треугольника (черт. 52).

Повторительные вопросы

Могут ли три угла треугольника быть тупыми? А только два угла? – Может ли в треугольнике быть три прямых угла? А два прямых угла? (Попробуйте начертить такой треугольник). – Сколько перпендикуляров можно провести к прямой линии из внешней точки? – Каким свойством обладают два перпендикуляра к одной прямой? – Каким свойством обладают две прямые, встречающие третью под равными соответственными углами? – Как чертят параллельные помощью линейки и чертежного треугольника?

Рассмотрим следующую задачу:

Расстояния между тремя селениями 7 км, 5 км и 6 км. Начертить расположение этих селений в масштабе 1 км в 1 см.

Ясно, что точки, изображающие селения, нужно расположить на вершинах треугольника, стороны которого 7 см, 5 см и 6 см.

Объясним, как начертить («построить») этот треугольник

Проведем (черт. 53) по линейке прямую линию MNи отложим на ней помощью циркуля одну из сторон треугольника – напр., в 6 см. Концы этого отрезка обозначим буквами А и В. Остается найти такую третью точку, которая удалена от А на 7 см и от В на 5 см (или наоборот): это и будет третья вершина треугольника со сторонами 7 см, 5 см и 6 см. Чтобы эту точку разыскать, раздвигают сначала концы циркуля на 7 см и описывают окружность вокруг точки А, как около центра (черт. 54). Все точки этой окружности отстоят от Aна 7 см; среди них нужно найти ту, которая отстоит от вершины В на 5 см. Для этого вокруг В, как около центра, описывают окружность радиусом 5 см. Где обе окружности пересекаются, там лежат точки, удаленные от А на 7 см и от В на 5 см (черт. 54). Наши окружности пересекутся в двух точках С и D. Соединив их с А и В, получим два треугольника САВ и DAB, имеющие стороны в 6 см, в 7 см и в 5 см.

Нетрудно убедиться, что треугольники эти равны, т. е. будут совпадать, если их наложить один на другой. Для этого перегнем черт. 54 так, чтобы линией перегиба была прямая МN, и чтобы верхняя часть чертежа покрыла нижнюю. Обе окружности перегнутся при этом по их диаметрам, и верхние полуокружности совпадут с нижними (почему?); но если совпадают все– точки обеих полуокружностей, то должны совпадать и точки их пересечений С и D, а тогда сольются и стороны обоих треугольников. Значит, треугольники CAB и DАВ – равны.

Мы могли бы вести построение треугольника и в другом порядке: отложить на МN сначала сторону в 7 см и описать окружность радиусами 5 см и 6 см. Или же отложить сначала сторону в 5 см, и описать окружность радиусами в 6 см и в 7 см. При любом порядке построения у нас будут получаться одни и те же треугольники, только различно повернутые (или перевернутые на левую сторону). В подробных учебниках математики доказывается, что все треугольники, составленные из одинаковых сторон, равны между собою (т. е. при наложении совпадают всеми точками). Другими словами, если три стороны одного треугольника порознь равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники можно наложить друг на друга так, чтобы все их точки совпали. Это выражают короче так:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о т р е м с т о р о н а м.