Из десяти пар противоположностей пифагорейцев шесть пар - 1-я, 2-я 4-я, 5-я, 8-я и 9-я симметричны, а другие четыре пары - 3-я, 6-я, 7-я и 10-я асимметричны.

Симметричными и асимметричными бывают и другие двойственности. Например, принцип двойственности проективной геометрии и все принципы двойственности Картана совершенно симметричны, а 'двойственность по Картану', определенная Гельфандом, асимметрична. Асимметрична и двойственность между эллиптическим пространством с мнимым абсолютом и гиперболическим, псевдоэллиптическими и псевдогиперболическими пространствами с вещественными абсолютами: группа движений эллиптического пространства компактна, а группы движений остальных пространств некомпактны. Асимметрична и двойственность между эллипсом и 'парой противоположных гипербол', которую подчеркивал Аполлоний, и между окружностью и равносторонней гиперболой, на которую мы обращали внимание, говоря об алгебраическом трактате Хайяма.

Симметричной является двойственность между замкнутыми и открытыми множествами в топологии, между операциями пересечения и объединения множеств в теории множеств, между конъюнкцией и дизъюнкцией в математической логике, и между аналогичными операциями во многих областях математики.

Примером двойственности в математике является сопоставление коммутативной группы и ее группы характеров. Характером коммутативной группы называется гомоморфное отображение этой группы в группу комплексных чисел единичного модуля. Характеры коммутативной группы сами образуют коммутативную группу. В случае конечных коммутативных групп группа характеров коммутативной группы G, как показал Г.Ф.Фробениус, изоморфна самой группе G и двойственнисть между группой и ее группой характеров симметрична. В случае бесконечных коммутативных групп группа G и ее группа характеров G* уже не изоморфны, но, как показал Л.С.Понтрягин, в случае, когда группа G компактна, группа G* дискретна, а в случае, когда группа G дискретна, группа G* компактна, и двойственность между компактными группами и их группами характеров асимметрична.

Двойственность в зороастризме и в учении 'Инь-ян'

Пары противоположностей, аналогичные пифагорейским, имелись у персидских зороастрийцев и в китайском учении 'Инь-ян'.

Религия зороастрийцев была основана на борьбе доброго бога Ахура- Мазды (Ормузда) и злого бога Ахгра-Майню (Ахримана). С этими богами были связаны противоположности 'свет и тьма', 'Солнце и Луна', 'тепло и холод', 'добро и зло'.

Учение 'Инь-ян', на котором были основаны наука и образование в древнем и средневековом Китае, связано с противоположностями 'солнечная погода и дождь', 'весна-лето и осень-зима', 'Солнце и Луна', 'свет и тьма', 'мужское и женское', 'положительное и отрицательное', 'небо и земля'.

Возможно, что между пифагорейцами и древними персами имелись связи; o связях между древними персами и китайцами мы упоминали в предыдущей главе. Двойственность зороастризма, несомненно, определила двойственность 'отца диалектики' Гераклита, который учился у зороастрийских жрецов.

Двойственность в Библии

Первая книга Библии 'Бытие' начинается такими словами: 'В начале сотворил Бог небо и землю. Земля же была безвидна и пуста, и тьма над бездною; и Дух Божий носился над водою. И сказал Бог: да будет свет. И стал свет. И увидел Бог свет, что он хорош ; и отделил Бог свет от тьмы. И назвал Бог свет днем, а тьму ночью'. Мы видим, что согласно Библии сотворение мира было результатом воздействия Духа Божьего на материю, не имеющую формы - на воду. В результате появились противоположности - небо и земля, свет и тьма.

Далее, согласно Библии, Бог создал элементы, минералы, растения, животных.

В шестой день 'сотворил Бог человека по образу Своему, по образу Божию сотворил его; мужчину и женщину сотворил их... И создал Господь Бог человека из праха земного, и вдул в лице его дыхание жизни, и стал человек душею живою'.

Сотворяя человека Бог создал еще две противоположности - душу и тело, мужчину и женщину - Адама и Еву.

Двойственность у Платона

Вселенная Платона состояла из трех миров: 1) мира 'идей', 2)'пространства', 3) мира 'рожденных'. Платон писал в 'Тимее' : 'Приходится признать во-первых, что есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни былo и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя - ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некоем месте и внонь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением. В- третьих, есть еще один род, а именно пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но самовоспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно. Мы видим его как бы в грезах и утверждаем, будто этому бытию непременно должно быть где-то, в каком- то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует'.

Эти слова показывают. что Платон считал 'идеи' вечными сущностями, 'рожденные' - сущностями, которые возникают и исчезают, a 'пространство' - пассивная масса, которая под действием 'идей' порождает 'рожденные'. Платон называл 'пространство' также 'матерью рожденных ', отождествляя противоположность между 'идеями' и 'пространством' с парой противоположностей 'мужское и женское' и подчеркивая тем самым активный, мужской характер 'идей'.

Двойственность у Аристотеля

Учение Платона об активных 'идеях' и пассивном 'пространстве' было развито Аристотелем, который писал в 'Метафизике':'Существует ли что нибудь помимо составного, целого или нет (я имею в виду материю и то, что с ней соединено)? Если не существует, то ведь все имеющееся в материи поистине преходяще. А если существует, то это будет, надо полагать, форма, или образ. Так вот, в каких случаях она существует отдельно и в каких нет, это трудно определить, ибо в некоторых случаях ясно, что форма не существует отдельно, например у дома.' В другом месте 'Метафизики' Аристотель писал: 'материя есть носитель энтелехии '.

Аристотель называл пассивное 'пространство' Платона 'материей' (hyle), a его активную 'идею' - 'формой' (morphe). Под словом 'энтелехия' (entelecheia) он понимал устойчивость (английский переводчик 'Метафизики'перевел это слово actuality). Аристотель применял термин en- telecheia в весьма широком смысле, относя его к любому виду материи, как и слова kinesis - 'движение' и energeia - 'энергия'. Иногда Аристотель применял термин entelecheia и в смысле того, что обеспечивает устойчивость, например, в сочинении 'О душе' он называет этим термином человеческую душу.

Идеи Платона и Аристотеля получили дальнейшее развитие в трудах Зенона Китийского и других стоиков. Стоики объединяли античные элементы воду и землю в понятие hyle - 'материя', a oгонь и воздух - в понятие pneuma - 'дыхание, дух'. Pneuma стоиков очень близка к 'форме' Аристотеля.

Двойственнисть и тройственность в христианстве

Новый Завет унаследовал от Ветхого Завета идею единого Бога, но дополнил его до Троицы, к Богу-отцу были добавлены Бог-сын и Святой дух. Двойственными элементами в христианстве являются Бог и дьявол, рай и ада, добро и зло; к раю и аду был добавлен третий элемент - чистилище. Добро и зло находятся в человеческой душе и тем самым древняя асимметрическая двойственность души и тела дополняется симметричной двойственностью добра и зла.

Двойственность в исламе

Мусульмане рассматривают свою священную книгу Каран как продолжение Библии и Евангелия. Это подчеркивается тем, что мусульмане считают основателя своей религии Мухаммада (Магомета) шестым пророком после Адама, Нуха (Ноя), Ибрагима (Абраама), Мусы (Моисея) и Исы (Иисуса Христа).

Ислам унаследовал у христианства учение о едином Боге (Аллахе) и дьяволе (Шайтане), учение о рае и аде и понятия добра и зла.

Омар Хайям писал о рае и аде: Нам с гуриями рай сулят на свете том И чаши полные пурпуровым вином. Красавиц и вина бежать на свете этом Разумно ль, если к ним мы все равно придем. Нам говорят муллы, что существует ад. Поверьте мне: они неправду говорят. Будь предназначен он для пьяниц и влюбленных, Давно бы опустел цветущий райский сад.