труда. 'Арифметика' Диофанта это по существу алгебра (арабский переводчик озаглавил свой перевод 'Алгебра'). В известных ранее 6 книгах встречались 6 степеней неизвестной величены - число, квадрат, куб, квадрато-квадрат, квадрато-куб и кубо-куб. В новых книгах появились еще две степени - 8-я - квадрато-квадрато-квадрато- квадрат и 9-я - кубо-кубо-куб.

Большая часть труда Диофанта посвящена неопределенным уравнениям, в которых находятся решения, выражаемые рациональными числами a/b, где а и b - натуральные числа. Уравнения Диофанта допускают геометрическую интерпретацию, предложенную И.Г.Башмаковой: неопределенные уравнения с двумя и тремя переменными можно рассматривать как уравнения линии на плоскости и поверхности в пространстве. Пару уравнений с тремя неизвестными можно рассматривать как уравнения линии в пространстве. Более сложные неопределенные уравнения и системы таких уравнений допускают интерпретации в многомерных пространствах.

Для получения решений Диофант обычно дополнял свои уравнения линейными уравнения до n уравнений с n неизвестными и находил решения этих систем.

Я изучал значение 'гипергеометрических' названий степеней у Диофанта и других математиков для создания многомерной геометрии.

Папп и Теон

Выше я упоминал александрийского математика Паппа (III в. н.э) Книга Паппа 'Математическое собрание' содержит изложение многих результатов математиков предыдущих веков, труды которых не дошли до нас. В моей книге 'История неевклидовой геометрии' я подробно рассматривал ряд теорем проективной геометрии, изложенных в труде Паппа, в том числе знаменитую теорему Паппа о шестиугольнике, вписанном в пару прямых.

Я изучал также дополнения Теона Александрийского (IV в.н.э.) к 'Началам' Евклида и комментарии Теона к 'Алмагесту' Птолемея, в которых он предлагал новое определение 'составного отношения' геометрических величин с помощью умножения 'знаменований отношений'. Развитие этого определения математиками средневекового Востока привело к расширению понятия чосла до того, что мы называем вещественным числом. Теон был также изобретателем той разновидности астролябии, которая была особенно популярна в средние века.

ал-Хорезми

Многие мои работы и работы моих учеников по истории науки посвящены трудам математиков и астрономов средневекового Востока.

Первым крупным из этих ученых был Мухаммад ал-Хорезми (ок.780- ок.850), уроженец Хорезма в Средней Азии, работавший в Багдаде. Одно из его имен ал-Маджуси показывает, что он происходил из семьи 'магов' - зороастрийских жрецов. Ал-Хорезми хорошо знал доисламскую персидскую и индийскую математическую и астрономическоую литературу и знакомил с ней арабов. Он был один из тех среднеазиатских ученых, которых собрал сын халифа Гаруна ар-Рашида ал-Ма'мун, когда был наместником Хорасана в Мерве, а затем, когда ал-Ма'мун стал багдадским халифом, перевез с собой в Багдад. В Багдаде ал-Хорезми стал руководителем, 'Дома мудрости' - академии наук ал-Ма'муна.

В 1964 г. мы с Ю.Е.Копелевич издали в Ташкенте русские переводы арифметического и алгебраического трактатов ал-Хорезми. В арифметическом трактате, сохранившемся только в средневековом латинском переводе, ал-Хорезми познакомил арабов с 'индийским счетом' - тем, что мы называем арабскими цифрами и с арифметикой с помощью этих цифр.

По имени ал-Хорезми руководства по арифметике с помощью арабских цифр назывались в средневековой Европе Algorismus и Algorithmus, от последнего из которых произошел термин 'алгоритм'. В алгебраическом трактате ал-Хорезми впервые появился термин 'алгебра'. В этом трактате ал-Хорезми рассмотрел три канонических вида квадратных уравнения с положительными коэффициентами x2+ax=b, x2+b=ax и x2=ax+b. Ал- Хорезми приводил алгебраические уравнения к каноническому виду с помощью операций 'ал-джабра' - 'восполнения' и 'ал-мукабалы' - 'противопоставления', которые состояли в переносе вычитаемых членов в другую сторону уравнения в виде прибавляемых и сокращения равных членов в обеих частях уравнения. Поэтому ал-Хорезми назвал свою книгу 'Краткой книгой об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы'. В латинских переводах наука, основанная ал-Хорезми, называлась algebra et al- mucabala. Впоследствии вторая половина этого названия была отброшена.

Для каждого канонического вида квадратных уравнений ал-Хорезми формулировал правило решения, которое доказывал с помощью геометрической алгебры. Например, в случае уравнения х2 + 10х =39 он изображал х2 в виде квадрата, пририсовывал к двум его смежным сторонам два прямоугольника со сторонами х и 5 и дополнял полученную Г-образную фигуру до полного квадрата квадратом со стороной 5. Так как площадь Г- образной фигуры по условию равна 39, площадь большого квадрата равна 39+25=64. Поэтому сторона большого квадрата равна 8, Но по построению эта сторона равна х + 5, откуда получаем х =3.

В алгебраическом трактате имеется 'Глава об измерении', содержащая геометрические задачи, а также главы о разделе наследств и о других экономических вопросах. В одной из этих глав впервые встречается термин 'капитал' (рас'ал-мал, буквально ''главное имущество'), под которым ал- Хорезми понимал ссудный капитал.

В 1983 г., когда отмечалось 1200-летие со дня рождения ал-Хорезми, эти два трактата были переизданы с рядом дополнений А.Р.Юшкевича и Г.П.Матвиевской, а также были опубликованы русские, узбекские и таджикские переводы многих сочинений ал-Хорезми и несколько сборников работ, посвященных ал- Хорезми. В сборнике, изданном в Москве, я опубликовал русские переводы двух небольших астрономических трактатов ал-Хорезми об астролябии и о солнечных часах, рукописи которых хранятся в Стамбуле, а также переводы сохранившихся фрагментов второго арифметического трактата ал-Хорезми и его 'Книги истории', продолжением которой был знаменитый исторический трактат ат-Табари.

В этом и в других сборниках и журналах я опубликовал также статьи о различных трудах ал-Хорезми. К тому же юбилею была выпущена научная биография ал-Хорезми, написанная мной совместно с П.Г.Булгаковым и А.Ахмедовым. В этой книге и в ряде статей был дан анализ астрономических таблиц ал- Хорезми, его 'Квадривиума', имеющихся только в средневековых латинских переводах, и его географического трактата.

В турецком журнале 'Эрдем' я, Ахмедов и ад-Даббах опубликовали обзор всех астрономических трактатов ал-Хорезми, хранящихся в Стамбуле и Ташкенте. В астрономических трактатах ал-Хорезми приводятся заимствованные у индийских астрономов правила, равносильные теоремам сферической тригонометрии, а также геометрические построения, позволяющие графически получить результаты, выражаемые этими формулами. Такие построения, которые я называю геометрической тригонометрией, впоследствии часто применялись астрономами средневекового Востока.

Географический трактат ал-Хорезми представляет собой описание 'карты ал-Ма'муна', составленной в 'Доме мудрости'. В книге ал-Хорезми указаны географические координаты более 2000 пунктов - городов, 'середин стран', концов горных хребтов, узловых точек рек и береговых линий океанов, морей, озер и островов. Характер этих линий между узловыми точками ал-Хорезми описывал специальными терминами своей классификации кривых линий. Сведения о Западной Европе и Восточной Азии ал-Хорезми заимствовал из 'Географии' Птолемея, сведения о странах Арабского халифата - у арабских и персидских путешественников.

'Квадривиум' ал-Хорезми содержит краткое изложение теории чисел, геометрии, астрономии и теории музыки.

В астрономических трактатах ал-Хорезми систематически пользовался линиями синусов, тангенсов и котангенсов, введенными индийскими астрономами. Эти астрономы, познакомившиеся с трудами александрийских ученых в V в., называли дугу окружности 'луком', стягивающую ее хорду - тетивой, а перпендикуляр, опущенный из середины дуги на хорду, 'стрелой'. Позже они ввели линию синуса, равную половине хорды и назвали ее 'полутетивой', но впоследствии для краткости стали называть ее тем же словом, что и тетиву. В VIII веке, когда арабы начали переводить труды индийских астрономов, они перевели слово 'джива' - 'тетива' в смысле хорды арабским словом ватар, обозначающим тетиву, а в смысле линии синуса оставили без перевода и транскрибировали как 'джиб'. Когда в XII веке европейцы начали переводить трактаты арабских астрономов на латынь, они приняли слово 'джиб' за 'джайб' - 'пазуха, карман' и перевели его словом sinus. Тангенсы и котангенсы индийцы и арабы рассматрували как