+(p/a)x2 в системе координат, одной из осей которых является произвольный диаметр сечения, а другой - касательная к сечению в конце этого диаметра. Эта система координат в общем случае является косоугольной.

Названия Аполлония параболы, эллипса и гиперболы означают, соответственно, 'приложение', 'недостаток' и 'избыток'. Эти названия связаны с тем, что при построении точек параболы применяется приложение к отрезку 2р прямоугольника с высотой х равновеликого квадрату со стороной у, а при построении точек эллипса и гиперболы применяется 'приложение с недостатком' и 'приложение с избытком'. Аполлоний называл отрезок 2р 'прямой стороной' сечения, а отрезок 2а - 'поперечной стороной' эллипса или гиперболы.

Аполлоний понимал, что аналогом эллипса является пара противоположных гипербол. Поперечная сторона эллипса или гиперболы равна отрезку оси абсцисс между ее точками пересечения с эллипсом или с двумя ветвями гиперболы. Если перенести ось ординат параллельно так, чтобы она проходила через центр эллипса или гиперболы, уравнения этих кривых примут вид x2/a2 + y2/b2 =1 и x2/a2 - y2/b2 =1, где b2 =ap.

Аполлоний рассматривал метрические свойства конических сечений - оси симметрии, фокусы и инверсии относительно окружности, эллипса, гиперболы и параболы; аффинные свойства - диаметры, центр, сопряженные диаметры, асимптоты и касательные; проективные свойства - полюсы и поляры, двойные отношения, гармонические четверки точек.

Термины 'абсцисса' и 'ордината' происходят от латинских переводов тех выражений, которыми Аполлоний называл эти отрезки.

Аполлоний называл осью наклонного кругового конуса прямую, соединяющую вершину А конуса с центром круга основания. Если конус пересечен плоскостью конического сечения и эта плоскость высекает из плоскости основания конуса прямую DE, Аполлоний опускал на эту прямую из центра основания перпендикуляр, пересекающий поверхность конуса в точках B и C. Треугольник ABC, проходящий через ось конуса и его вершину А, Аполлоний называл осевым треугольником. Плоскость конического сечения, высекает из поверхности конуса эллипс, параболу или две ветви гиперболы. Осью Оx служит линия пересечения секущей плоскости с плоскостью треугольника ABC, ось Oy параллельна прямой DE. В случае эллипса и гиперболы Аполлоний выражал отношение 2а/2p через углы треугольника ABC и угол между прямыми BC и Ох. В случае пораболы Аполлоний выражал отношение 2р/АО через углы треугольника ABC.

Пары точек гармонических четверок Аполлоний называл 'имеющими то же самое отношение'. В современной математике отношения отрезков, составляющих двойное отношение гармонической четверки точек отличаются знаком, но античные математики, не применявших отрицательных величин, считали эти отношеня равными.

Используя двойные отошения, Аполлоний по существу рассматривал проективные ряды точек прямых и проективные пучки прямых и пользовался тем фактом, что коническое сечение можно получить как геометрическое место точек пересечения соответственных прямых двух проективных пучков. Этот факт в явном виде сформулировал только Якоб Штейнер (1796-1863). Аполлоний пользовался также тем, что касательные к коническому сечению соединяют точки двух проективных прямых, связанные проективным соответствием между этими прямыми.

Аполлоний доказал, что два конических сечения могут иметь не более 4 общих точек, а через 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой проходит единственное коническое сечение.

Аполлоний определял фокусы эллипса и гиперболы, как такие точки большой оси эллипса и вещественной оси гиперболы, которые лежат на поперечной стороне сечения, соответствующей этой оси, и обладают тем свойством, что произведение расстояний от этих точек до вершин сечения равно b2=ap и называл фокусы 'точками начал приложений'. Под приложениями он понимал прямоугольники, стороны которых равны расстояниям от фокуса до вершин сечения. Поэтому абсциссы х фокусов эллипса удовлетворяют условию x(2a-x)=ap и абсциссы х фокусов гиперболы удовлетворяют условию х(2а+х)=аp. Умножая обе части этих равенств на p/a мы получим в обоих случаях соотношение y2= p2, которое показывает, что в силу определения Аполлония, абсолютные величины ординат точек эллипсов и парабол, ординаты которых совпадают с ординатами фокусов, равны p.

Аполлоний доказал, что если вершины эллипса или гиперболы - точки А и B, касательные к сечениям в этих точках - прямые AC и BD, E - произвольная точка сечения, прямая CD - касательная к сечению в точке Е, а F и G - фокусы, то углы CFD и CGD - прямые для всех точек Е, а угол CEF равен углу GED.

В силу последнего равенства, если из одного фокуса эллипса выходят лучи света, то, отразившись от эллипса, они соберутся в другом его фокусе, и если в этом фокусе будет находится горючий материал, он загорится. Этим объясняется введенный Иоганнесом Кеплером (1571-1630) термин 'фокус', происходящий от латинского слова focus - 'очаг'. В силу того же равенства, лучи, выходящие из фокуса гиперболы, отражаются от нее таким образом, что продолжения отраженных лучей пройдут через второй фокус гиперболы. Сам Аполлоний о свойствах световых лучей, выходящих из фокусов эллипса и гиперболы, не упоминал. Аполлоний доказал утверждения равносильные тому, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е сечения с абсциссами х в случае эллипса равны a+ex и a- ex, а в случае гиперболы равны ex+a и ex-a, где е - эксцентриситет эллипса, равный 1-p/a и эксцентриситет гиперболы, равный 1+p/a. Отсюда следует, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е эллипса и гиперболы равны произведениям е на расстояния от точек Е до прямых х = a/e и х =-a/e. Эти прямые в настоящее время называются директрисами эллипса и гиперболы.

Аполлоний не упоминал директрис, но указывал, что сумма фокальных радиусов-векторов точек эллипса и разность фокальных радиусов- векторов точек гиперболы постоянны и равны 2а.

Аполлоний не упоминал фокуса параболы и его свойств, в частности того свойства, которое использовал Архимед при обороне Сиракуз. По- видимому, Архимед, погибший при взятии Сиракуз римлянями, открыл это свойство фокуса параболы незадолго до своей гибели, и оно не было известно Аполлонию.

В V книги 'Конических сечений'Аполлоний рассматривал проведение из любой точки плоскости нормалей к коническим сечениям, т.е. прямых перпендикулярных касательным в их точках касания. Аполлоний доказал, что отрезки этих нормалей являются минимальными или максимальными прямыми, проведенными из данных точек к коническим сечениям. Задача о проведении таких линий является частным случаем задачи об условном экстремуме, т.е. об определении максимума или минимума функции f (x,y) при условии, что переменные х, y связаны условием F(x, y) = 0.

Решение этой задачи в общем виде разработал Жозеф Луи Лагранж (1736 -1813), который свел ее к нахождению экстремума функции U(x, y) = f(x,y) + lF(x,y).

Вычисляя частные производные Ux и Uy для функции f(x,y) =(х -х0)2 + (y -y0)2

и для уравнения F(x,y) = 0 конического сечения, приравнивая Ux Uy' нулю и исключая из полученных равенств l, мы найдем уравнение той самой вспомогательной гиперболы, которую определил Аполлоний при проведении нормалей к коническому сечению из точки М с координатами хо и уо. Если это сечение пересекается с вспомогательной гиперболой в точках N и P, то искомыми нормалями являются прямые MN и MP.

Несомненно, что Лагранж разработал свой метод, изучая решение Аполлония, изложенное в V книге 'Конических сечений', которая появилась в латинском переводе Галлея в 1710 г.

В том случае, когда точки N и P сливаются, т.е. вспомогательная гипербола касается конического сечения, отрезок MN называется радиусом кривизны конического сечения в точке N, а точка М называется центром кривизны сечения в точке N. В настоящее время геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой этой кривой.

Аполлоний сначала находит центр кривизны конических сечений в их вершинах и доказывает, что радиусы кривизны сечений в их вершинах равны половинам прямых сторон сечений, соответствующих осям, проходящим через эти вершины. Далее Аполлоний приводит пропорции равносильные уравнениям эволют параболы, эллипса и гиперболы. Эволюта параболы -полукубическая парабола, состоящая из двух вогнутых кривых, соединенных в точке возврата. Эволюта эллипса - астроида -замкнутая кривая, состоящая из четырех вогнутых кривых, соединенных попарно в точках возврата. Эволюта гиперболы - псевдоастроида, состоящая из двух ветвей, каждая из которых образована двумя вогнутыми кривыми,