В вопросах о трисекции угла и удвоении куба данные Ванцелем доказательства невозможности напоминают эпическую работу Гаусса о правильных многоугольниках, только являются намного более простыми. Я начну с задачи об удвоении куба, в которой суть дела очень наглядна. Можно ли циркулем и линейкой построить отрезок длины ³v2?

Выполненный Гауссом анализ правильных многоугольников основан на идее, что любое геометрическое построение сводится к решению ряда квадратных уравнений. По существу, он считает это само собой разумеющимся, поскольку это алгебраически следует из свойств линий и окружностей. Некоторые не слишком сложные алгебраические выкладки позволяют заключить, что для любой допускающей построение величины ее «минимальный многочлен» — простейшее уравнение, которому она удовлетворяет — имеет степень, равную степени двойки[29]. Это уравнение может быть линейным, квадратным, иметь степень 4, 8, 16, 32, 64… — одну из степеней числа 2.

С другой стороны, число ³v2 удовлетворяет кубическому уравнению x³ ? 2 = 0, и это[30] и есть его минимальный многочлен. Его степень равна 3, что не есть степень числа 2. Поэтому допущение о возможности удвоения куба с использованием циркуля и линейки в силу безупречной логики ведет к заключению, что 3 есть степень числа 2. Это очевидным образом неверно. Тем самым, методом reductio ad absurdum показано, что интересующего нас построения не существует.

Трисекция угла невозможна по схожим причинам, однако доказательство тут немного сложнее.

Во-первых, некоторые углы можно точно разделить на три части. Хороший пример дается углом 180°, который при делении на три части дает 60° — угол, который можно построить при построении правильного шестиугольника. Таким образом, доказательство невозможности следует начать с выбора некоторого другого угла и с доказательства, что этот угол нельзя разбить на три равные части. Проще всего взять уже появлявшийся у нас угол 60°. Одна треть от него составляет 20°, и мы покажем, что угол 20° построить циркулем и линейкой нельзя.

Вот отрезвляющие соображения. Возьмем транспортир — инструмент для измерения углов. На нем четко нанесены углы 10°, 20° и так далее. Но эти углы не вполне точные — хотя бы из-за того, что линии, которыми они обозначены, имеют некоторую толщину. Можно отмерить угол в 20° с достаточной точностью для архитектурных или инженерных чертежей. Но, используя эвклидовы методы, нельзя построить угол, в точности равный 20°; сейчас мы это покажем.

Ключевую роль здесь играет тригонометрия — наука о количественных мерах углов. Предположим, что мы начинаем с шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 1. Там имеются углы 60°, и если мы сможем разбить один из них на три равные части, мы сможем, тем самым построить отрезок, выделенный жирным на рисунке.

Пусть его длина равна x. Тригонометрия говорит нам, что x удовлетворяет уравнению 8x³ ? 6x ? 1 = 0. Как и в задаче об удвоении куба, это кубическое уравнение, и оно также представляет собой минимальный многочлен, которому удовлетворяет x. Но если бы отрезок длины x можно было построить, то степень его минимального многочлена была бы степенью числа 2. Мы пришли к тому же противоречию и к тому же выводу: данное построение невозможно.

Способ, которым я представил эти доказательства, скрывает более глубокую структуру. С более абстрактной точки зрения решения этих двух задач Античности Ванцелем сводятся к симметрийным аргументам: группы Галуа уравнений, которые отвечают геометрии, имеют «неправильную» структуру для построений циркулем и линейкой. Ванцель был хорошо знаком с группами Галуа и в 1845 году нашел новое доказательство того факта, что некоторые алгебраические уравнения нельзя решить в радикалах. Доказательство близко следовало идеям Руффини и Абеля, но позволяло упростить эти идеи и выразить их более ясно. Во введении Ванцель пишет: