А далее Галуа переформулировал всю задачу с совершенно иной точки зрения. Вместо построения башни с лестницами он вырастил некое дерево.

Не то чтобы он сам называл свой метод «деревом» — так же как не упоминал Абель о «башне» Кардано, однако идею Галуа можно, тем не менее, изобразить как процесс, который снова и снова ответвляется от центрального ствола. Ствол — это группа Галуа данного уравнения. Ветви, веточки и листья — различные подгруппы.

Подгруппы возникают естественным образом, как только мы задумаемся о том, как изменяются симметрии уравнений, когда мы начинаем брать радикалы. Как изменяется группа? Галуа показал, что если извлекается корень p-й степени, то группа симметрии должна разбиться на p различных блоков одинакового размера. (Здесь, как заметил Абель, всегда можно предполагать, что число p простое.) Так, например, некая группа из 15 перестановок может разбиться на 5 групп из 3 элементов каждая или на три группы из 5 каждая. Существенно важно, что блоки должны удовлетворять некоторым очень строгим условиям; в частности, один из них должен сам по себе образовывать подгруппу некоторого специального вида, известного под именем «нормальной подгруппы индекса p». Можно представлять себе, что ствол дерева разбился на p меньших веток, одна из которых соответствует нормальной подгруппе.

Нормальные подгруппы в группе всех шести перестановок на трех символах таковы: вся группа [I, U, V, P, Q, R], подгруппа [I, U, V] (таблицы умножения которых мы только что видели) и подгруппа из одной-единственной перестановки, т.е. [I]. Три другие подгруппы, содержащие каждая по две перестановки, не являются нормальными.

Пусть, например, мы желаем решить общее уравнение пятой степени. Имеется пять корней, так что наши перестановки будут перестановками на пяти символах. Таких перестановок ровно 120. Коэффициенты уравнения, будучи полностью симметричными, обладают группой, состоящей из всех 120 перестановок. Эту группу мы будем представлять себе как ствол дерева. Каждый отдельный корень обладает группой, которая содержит лишь одну перестановку — тривиальную. Так что у дерева 120 листьев. Наша цель состоит в том, чтобы соединить ствол с листьями, добавляя ветви и веточки, структура которых отражала бы свойства симметрии различных величин, возникающих, если начать возиться с формулой для корней, которые, по нашему предположению, выражаются в радикалах.

Пусть для удобства рассуждений первый шаг в формуле состоит в извлечении корня пятой степени. Тогда группа из 120 перестановок должна разбиться на 5 кусков, в каждом из которых содержится по 24 перестановки. Так что у дерева вырастут пять ветвей. Технически это ветвление должно соответствовать нормальной подгруппе индекса 5.

Однако Галуа смог доказать — просто изучая перестановки, — что такой нормальной подгруппы не существует.

Ладно, может быть, следует начать, скажем, с корня седьмой степени. Тогда 120 перестановок должны разбиться на семь блоков одного и того же размера — что невозможно, поскольку 120 не делится на 7. Значит, корня седьмой степени нет. На самом деле нет никаких корней простой степени, за исключением 2, 3 и 5, потому что именно таковы простые делители числа 120. А мы как раз исключили 5.

Что же тогда, начнем с кубического корня? К сожалению, не получится: группа из 120 перестановок не имеет нормальной подгруппы индекса 3.

Все, что осталось, — квадратный корень. Имеется ли в группе из 120 перестановок нормальная подгруппа индекса 2? Имеется, причем ровно одна. Она содержит 60 перестановок и называется знакопеременной группой. Так что, используя теорию групп Галуа, мы установили, что любая формула для решения общего уравнения пятой степени должна начинаться с квадратного корня, что приводит к знакопеременной группе. При первом ветвлении ствола появляются всего две ветви.

Но всего имеется 120 листьев, так что дерево должно и дальше как-то ветвиться. Как оно это делает? Простые делители числа 60 — это те же 2, 3 и 5. Так что каждая новая ветвь должна делиться на две, три или пять веточек. Другими словами, нам надо добавить или еще один квадратный корень, или кубический корень, или корень пятой степени. Более того, это можно сделать, если, и только если, знакопеременная группа содержит нормальную подгруппу индекса 2, 3 или 5.

Но содержит ли она такую нормальную подгруппу? Вопрос этот — целиком вопрос о перестановках на пяти символах. Исследуя такие перестановки, Галуа смог доказать, что в знакопеременной группе вообще нет нормальных подгрупп (за исключением всей группы и тривиальной подгруппы [I]). Это «простая» группа, одна из тех основных