S₀ (пусть это будут, скажем, теоремы формальной системы Q(M), или Q_M(M), или какой угодно другой системы). Робот не знает, на самом ли деле каждый член класса S₀ является истинным, однако он замечает, что класс S₀ есть часть результата некоторого вычисления, причем посредством этого вычисление осуществляется построение некоторой модели сообщества математических роботов, а результат S₀ представляет собой семейство Π₁- высказываний, ☆-утверждаемых этими самыми моделируемыми роботами. Если механизмы, лежащие в основе этого сообщества роботов, совпадают с набором механизмов M, то высказывание P₀ представляет собой пример ☆_M-утверждения. А наш робот придет к выводу, что если он сам построен в соответствии с набором механизмов M, то высказывание P₀ также должно быть истинным.

Рассмотрим случай с более тонким ☆_M- утверждением (обозначим его P₁): робот отмечает, что истинность P₁ является следствием истинности всех членов другого класса Π₁-высказываний (например, S₁), который можно получить из результата того же самого вычисления, моделирующего сообщество роботов (на основе механизмов M), только на этот раз существенная часть результата состоит из, скажем, тех Π₁- высказываний, истинность которых моделируемые роботы способны установить как следствие истинности всего класса S₀. Что же побудит нашего робота заключить, что истинность высказывания P₁ есть непременное следствие допущения, что он построен в соответствии с механизмами M? Его рассуждение будет выглядеть приблизительно так: «Если в основе моей конструкции лежат механизмы M, то, как я уже установил ранее, необходимо признать, что класс S₀ включает в себя только истинные высказывания; согласно же утверждениям моих моделируемых роботов, истинность каждого из высказываний класса S₁ также следует из истинности всех высказываний класса S₀, равно как и истинность высказывания P₀. Таким образом, если предположить, что я и в самом деле построен в соответствии с теми же принципами, что и мои моделируемые роботы, то я должен признать, что каждый отдельный член класса S₁ является истинным. А поскольку я понимаю, что истинность всех высказываний класса S₁ подразумевает истинность высказывания P₁ я, должно быть, могу вывести и истинность P₁, исходя лишь из того же самого допущения относительно своей конструкции».

Далее можно перейти к еще более тонкому ☆_M- утверждению (скажем, P₂), которое возникает в том случае, когда робот замечает, что истинность P₂ оказывается не чем иным, как следствием допущения истинности всех высказываний класса S₂, истинность же каждого члена S₂, если верить моделируемому сообществу роботов, является следствием истинности всех без исключения членов S₀ и S₁. И здесь наш робот оказывается вынужден признать истинность P₂ на том лишь основании, что он построен в соответствии с набором механизмов M. Эту цепочку можно, очевидно, продолжать и дальше, приводя ☆_M-утверждения все большей и большей тонкости (P_ω), истинность которых будет следовать из допущения истинности всех членов классов S₀, S₁, S₂, S₃, … и так далее, включая и классы с индексами более высокого порядка (см. возражение Q19 и последующий комментарий). В общем случае, главной характеристикой ☆_M-утверждения для робота является осознание последним того обстоятельства, что коль скоро он предполагает, что механизмы, обусловливающие поведение моделируемых роботов, совпадают с механизмами, лежащими в основе его собственной конструкции, то ему ничего не остается, как заключить, что отсюда непременно следует истинность рассматриваемого утверждения (Π₁-высказывания). В этом рассуждении нет ничего от тех внутренне противоречивых методов рассуждения, к числу которых принадлежит, в частности, парадокс Рассела. Представленные ☆_M-утверждения строятся последовательно посредством стандартной математической процедуры трансфинитных ординалов (см. §2.10, комментарий к Q19). (Все эти ординалы счетны и далеки от тех логических неприятностей, которые постоянно сопутствуют обычным числам, «слишком большим» в том или ином смысле^{48}).

У робота нет иных причин принимать на веру любое из этих IIi-высказываний, кроме как исходя из допущения, что он построен в соответствии с набором правил M, впрочем, для доказательства ему этой веры вполне хватает. Возникающее впоследствии действительное противоречие не является математическим парадоксом (подобным парадоксу Рассела) — это самое обыкновенное противоречие, связанное с предположением, что ни одна целиком и полностью вычислительная система не может обрести подлинного математического понимания.

Вернемся к роли самоотносимости в рассуждениях §§3.19-3.21. Называя величину c пределом сложности, допустимым для ☆-утверждений, полагаемых безошибочными, с целью построения формальной системы Q*, я никоим образом не привношу в свое рассуждение неуместной здесь самоотносимости. Понятие «степень сложности» можно определить вполне точно, как, собственно, и обстоит дело с тем конкретным определением, которое мы использовали в наших рассуждениях, а именно: «степень сложности есть количество знаков в двоичном разложении большего из пары чисел m и n, фигурирующих в обозначении вычисления T_m(n), представляющего рассматриваемое Π₁-высказывание». Мы можем воспользоваться представленными в НРК точными спецификациями машин Тьюринга, положив, что T_m есть не что иное, как «m-я машина Тьюринга». Тогда никакой неточности в этом понятии не будет.

Проблема возможной неточности может возникнуть при решении вопроса о том, какие именно рассуждения мы будем принимать в качестве «доказательств» Π₁-высказываний. Однако в данном случае некоторый недостаток формальной точности является необходимой составляющей всего рассуждения. Если потребовать, чтобы совокупность аргументов, принимаемых в качестве обоснованных доказательств Π₁-высказываний, была целиком и полностью точной и формальной — читай: допускающей вычислительную проверку, — то мы снова окажемся в ситуации формальной системы, над которой грозно нависает гёделевское доказательство, явным образом демонстрируя, что любая точная формализация подобного рода не может представлять всю совокупность аргументов, пригодных, в принципе, для установления истинности Π₁-высказываний. Гёделевское доказательство показывает — к добру ли, к худу ли, — что никаким допускающим вычислительную проверку способом невозможно охватить все приемлемые человеком методы математического рассуждения.

Читатель, возможно, уже беспокоится, что все мои рассуждения здесь затеяны с целью получить точное определение понятия «роботово доказательство» посредством хитрого трюка с «безошибочными ☆-утверждениями». В самом деле, при введении гёделевского рассуждения необходимым предварительным условием было как раз получение точного определения этого понятия. Возникшее же в