обоснованность формальной системы ZF, то он не может верить и в подлинную истинность ИСТИННЫХ результатов, полученных с помощью ZF-игры. В обоих случаях сама по себе ZF-игра не в состоянии снабдить нас удовлетворительной позицией в том, что касается математической истинности. (Это равным образом применимо к любой формальной системе ZF*.)

Хотя этот вопрос был достаточно исчерпывающе рассмотрен в предыдущих обсуждениях, я полагаю, что суть того рассмотрения полезно будет изложить еще раз, поскольку возражения, подобные Q15, чаще всего оказываются среди нападок на наше с Лукасом приложение теоремы Гёделя. Суть же в том, что мы вовсе не утверждаем, что высказывание G (F) непременно истинно для любой формальной системы F, мы утверждаем лишь, что высказывание G(F) настолько же достоверно, насколько достоверна любая другая истина, получаемая применением правил самой системы F. (Вообще говоря, высказывание G (F) оказывается более достоверным, нежели утверждения, получаемые действительным применением правил F, так как система F, даже будучи непротиворечивой, не обязательно будет обоснованной!) Если мы верим в истинность любого утверждения P, выводимого исключительно с помощью правил системы F, то мы должны верить и в истинность G(F), по крайней мере, в той же степени, в какой мы верим в истинность P. Таким образом, ни одна постижимая формальная система F — или эквивалентный ей алгоритм F — не может послужить абсолютно полной основой для подлинного математического познания или формирования убеждений. Как отмечалось в комментариях к Q5 и Q6, наше доказательство построено как reductio ad absurdum: мы выдвигаем предположение, что система F действительно является абсолютной основой для формирования убеждений, а затем показываем, что такое предположение приводит к противоречию, т.е. является неверным.

Мы, конечно же, можем, как в Q14, выбрать для удобства какую-то конкретную систему F, хотя уверенности в том, что она обоснованна, а потому непротиворечива, это нам не добавит. Впрочем, при наличии действительных сомнений в обоснованности системы F любой получаемый в рамках F результат P следует формулировать в виде

(или, что то же самое, «высказывание P ИСТИННО»), избегая утверждений вида «высказывание P истинно». Такое утверждение в математическом смысле вполне приемлемо и может быть либо действительно истинным, либо действительно ложным. Совершенно законным образом мы можем свести все наши математические высказывания к утверждениям такого рода, однако и в этом случае нам никуда не деться от утверждений об абсолютных математических истинах. При случае мы можем прийти к убеждению, будто мы установили, что какое-то утверждение вышеприведенного вида является в действительности ложным, т.е. получить следующий результат:

Такие утверждения имеют вид: «такое-то вычисление не завершается» (или, по сути, «будучи примененным к высказыванию P, алгоритм F не завершается»), что в точности совпадает с формой рассматриваемых нами Π₁- высказываний. Вопрос: какие средства мы полагаем допустимыми в процессе получения подобных утверждений? Каковы, наконец, те математические процедуры, в которые мы действительно верим и применяем при установлении математических истин? Такая система убеждений, при условии, что они достаточно разумны, никак не может быть эквивалентна всего лишь убежденности в обоснованности и непротиворечивости формальной системы, какой бы эта формальная система ни была.

В самом деле, конечного аксиоматического способа убедиться в том, что «числа», о которых идет речь, и есть те самые подразумеваемые натуральные числа, а не какие- то посторонние «сверхнатуральные», не существует^{33}. Однако, в некотором смысле, в этом и состоит вся суть гёделевского рассуждения. Неважно, какую именно схему аксиом формальной системы F мы построим, пытаясь охарактеризовать натуральные числа, — одних лишь правил системы F будет недостаточно, чтобы определить, является ли высказывание G(F) действительно истинным или же ложным. Полагая систему F непротиворечивой, мы знаем, что в высказывании G(F) подразумевается все же наличие некоего истинного смысла. Это, однако, происходит лишь в том случае, если символы, составляющие в действительности формальное выражение, обозначаемое «G (F)», имеют подразумеваемые значения. Если эти символы интерпретировать как-либо иначе, то полученная в результате интерпретация «G(F)» вполне может оказаться ложной.

Для того чтобы разобраться, откуда берутся все эти двусмысленности, рассмотрим новые формальные системы F* и F**, где F* получается путем присоединения к аксиомам системы F высказывания G (F), a F** — путем аналогичного присоединения высказывания ~ G(F). Если система F обоснованна, то обе системы F* и F** непротиворечивы (т.к. высказывание G(F) истинно, а ~ G (F) из правил системы F) вывести невозможно. При этом в случае подразумеваемой (или стандартной) интерпретации символов F из обоснованности системы F следует, что система F* обоснованна, а система F** — нет. Впрочем, одним из характерных свойств непротиворечивых формальных систем является возможность отыскания так называемых нестандартных реинтерпретаций символов таким образом, что высказывания, которые являются ложными в стандартной интерпретации, оказываются истинными в нестандартной; соответственно, в такой нестандартной интерпретации обоснованными могут быть системы F и F**, а система F* обоснованной не будет.