Возможно, такая замена позволит лучше понять, каким образом убежденность в обоснованности процедуры — такой, например, как A — может привести к другой процедуре, с исходной никак не связанной, но в обоснованности которой мы также должны быть убеждены, поскольку если мы полагаем процедуры некоторой формальной системы F обоснованными — т.е. процедурами, с помощью которых мы получаем одни лишь действительные математические истины, полностью исключив ложные утверждения (иными словами, если некое предположение P выводится из такой процедуры как ИСТИННОЕ, то это значит, что оно и в самом деле должно быть истинным), — то мы должны также уверовать и в ω-непротиворечивость системы F. Если под «ИСТИННЫМ» понимать «истинное», а под «ЛОЖНЫМ» — «ложное» (как оно, собственно, и есть в рамках любой обоснованной формальной системы F), то безусловно истинно следующее утверждение:

что в точности совпадает с условием ω-непротиворечивости.

Однако убежденность в ω-непротиворечивости формальной системы F может происходить не только из убежденности в обоснованности этой системы, но и из убежденности в ее обыкновенной непротиворечивости. Поскольку если под «ИСТИННЫМ» понимать «истинное», а под «ЛОЖНЫМ» — «ложное», то, несомненно, выполняется условие

в точности совпадающее с условием непротиворечивости. Вообще говоря, во многих случаях различия между непротиворечивостью и ω-непротиворечивостью практически отсутствуют. Для упрощения дальнейших рассуждений этой главы я, в общем случае, не стану разделять эти два типа непротиворечивости и буду обычно говорить просто о «непротиворечивости». Суть доказательства Гёделя и Россера сводится к тому, что установление факта непротиворечивости формальной системы (достаточно обширной) превышает возможности этой самой формальной системы. Первоначальный (кенигсбергский) вариант теоремы Гёделя опирался только на ω-непротиворечивость, однако следующий, более известный, вывод был связан уже исключительно с непротиворечивостью обыкновенной.

Сущность гёделевского доказательства в нашем случае состоит в том, что оно показывает, как выйти за рамки любого заданного набора вычислительных правил, полагаемых обоснованными, и получить некое дополнительное правило, в исходном наборе отсутствующее, но которое также должно полагать обоснованным, — т.е. правило, утверждающее непротиворечивость исходных правил. Важно уяснить следующий существенный момент:

Мы имеем право применять правила формальной системы F и полагать, что выводимые из нее результаты действительно истинны, только в том случае, если мы также полагаем, что эта формальная система непротиворечива. (Например, если бы система F не была непротиворечивой, то мы могли бы вывести, как ИСТИННОЕ, утверждение «1 = 2», которое истинным, разумеется, не является!) Таким образом, если мы уверены, что применение правил некоторой формальной системы F действительно эквивалентно математическому рассуждению, то следует быть готовым принять и рассуждение, выходящее за рамки системы F, какой бы эта система F ни была.

Продолжим рассмотрение различных математических возражений, высказываемых время от времени в отношении моей трактовки доказательства Гёделя—Тьюринга. Многие из них тесно связаны друг с другом, однако я полагаю, что в любом случае их будет полезно разъяснить по отдельности.

Что касается формальной системы F, описывающей общую теорию множеств, то, действительно, не всегда ясно, можно ли вообще говорить о каком-то абсолютном смысле, в котором то или иное утверждение о множествах является либо «истинным», либо «ложным», — вследствие чего под сомнение может попасть и само понятие «обоснованности» формальной системы, подобной F. В качестве поясняющего примера приведем один известный результат, полученный Гёделем (1940) и Коэном (1966). Они показали, что определенные математические утверждения (так называемые континуум- гипотеза Кантора и аксиома выбора) никак не зависят от теоретико- множественных аксиом системы Цермело—Френкеля — стандартной формальной системы, обозначаемой здесь через ZF. (Аксиома выбора гласит, что для любой совокупности непустых множеств существует еще одно множество, которое содержит ровно один элемент из каждого множества совокупности^{29}. Согласно же континуум-гипотезе Кантора, количество подмножеств натуральных чисел — равное количеству вещественных чисел — представляет собой вторую по величине бесконечность после множества собственно натуральных чисел^{30}. Читателю нет нужды вникать в скрытый смысл этих утверждений прямо сейчас. Равно как нет нужды и мне углубляться в подробное изложение аксиом и правил процедуры системы ZF.) Некоторые математики убеждены в том, что система ZF охватывает все методы математического рассуждения, необходимые для обычной математики. Некоторые даже утверждают, будто приемлемым математическим доказательством можно считать только такое доказательство, какое можно, в принципе, сформулировать и доказать в рамках системы ZF. (См. комментарий к возражению Q14, где дается оценка применимости к таким субъектам гёделевского доказательства.) Иными словами, эти математики настаивают на том, что ИСТИННЫМИ, ЛОЖНЫМИ и НЕРАЗРЕШИМЫМИ в рамках системы ZF математическими утверждениями можно считать только те утверждения, истинность, ложность и неразрешимость которых, в принципе, устанавливается математическими средствами. Для таких людей аксиома выбора и континуум-гипотеза являются математически неразрешимыми (что, по их мнению, и доказывается выводом Гёделя—Коэна), и они наверняка будут утверждать, что истинность или ложность этих двух математических утверждений суть предметы достаточно условные.

Влияют ли эти кажущиеся неопределенности в отношении абсолютного характера математической истины на выводы, которые мы сделали из доказательства Гёделя—Тьюринга? Никоим образом, так как мы