Наиболее известная форма теоремы Гёделя гласит, что формальная система F (достаточно обширная) не может быть одновременно полной и непротиворечивой. Это не совсем та знаменитая «теорема о неполноте», которую Гёдель первоначально представил на конференции в Кенигсберге (см. §§2.1 и 2.7), а ее несколько более сильный вариант, который был позднее получен американским логиком Дж. Баркли Россером (1936). По своей сути, первоначальный вариант теоремы Гёделя оказывается эквивалентен утверждению, что система F не может быть одновременно полной и ω- непротиворечивой. Условие же ω- непротиворечивости несколько строже, нежели условие непротиворечивости обыкновенной. Для объяснения его смысла нам потребуется ввести некоторые новые обозначения. В систему обозначений формальной системы F необходимо включить символы некоторых логических операций. Нам, в частности, потребуется символ, выражающий отрицание («не»); можно выбрать для этого символ «~». Таким образом, если Q есть некое высказывание, формулируемое в рамках F, то последовательность символов ~ Q означает «не Q». Нужен также символ, означающий «для всех [натуральных чисел]» и называемый квантор общности; он имеет вид «∀». Если P(n) есть некое высказывание, зависящее от натурального числа n (т.е. P представляет собой так называемую пропозициональную функцию), то строка символов ∀n [P(n)] означает «для всех натуральных чисел n высказывание P(n) справедливо». Например, если высказывание P(n) имеет вид «число n можно выразить в виде суммы квадратов трех чисел», то запись ∀n[P(n)] означает «любое натуральное число является суммой квадратов трех чисел», — что, вообще говоря, ложно (хотя, если мы заменим «трех» на «четырех», то это же утверждение станет истинным). Такие символы можно записывать в самых различных сочетаниях; в частности, строка символов

выражает отрицание того, что высказывание P(n) справедливо для всех натуральных чисел n.

Условие же ω-непротиворечивости гласит, что если высказывание ~ ∀n[P(n)] можно доказать с помощью методов формальной системы F, то это еще не означает, что в рамках этой самой системы непременно доказуемы все утверждения

Отсюда следует, что если формальная система F не является ω-непротиворечивой, мы оказываемся в аномальной ситуации, когда для некоторого P оказывается доказуемой истинность всех высказываний P(0), P(1), P(2), P(3), P(4), …; и одновременно с этим можно доказать и то, что не все эти высказывания истинны! Безусловно, ни одна заслуживающая доверия формальная система подобного безобразия допустить не может. Поэтому если система F является обоснованной, то она непременно будет и ω-непротиворечивой.

В дальнейшем утверждения «формальная система F является непротиворечивой» и «формальная система F является ω-непротиворечивой» я буду обозначать, соответственно, символами «G(F)» и «Ω (F)». В сущности (если полагать систему F достаточно обширной), сами утверждения G(F) и Ω (F) формулируются как операции этой системы. Согласно знаменитой теореме Гёделя о неполноте, утверждение Ω(F) не является теоремой системы F (т.е. его нельзя доказать с помощью процедур, допустимых в рамках системы F); не является теоремой и утверждение Ω(F) — если, разумеется, система F действительно непротиворечива. Несколько более строгий вариант теоремы Гёделя, сформулированный позднее Россером, гласит, что если система F непротиворечива, то утверждение ~ G (F) также не является теоремой этой системы. В оставшейся части этой главы я буду формулировать свои доводы не столько исходя из утверждения Ω(F), сколько на основе более привычного нам G(F), хотя для большей части наших рассуждений в равной степени сгодится любое из них. (В некоторых наиболее явных аргументах главы 3 я буду иногда обозначать через «G (F)» конкретное утверждение «вычисление C_k (k) не завершается» (см. §2.5); надеюсь, никто не сочтет это слишком большой вольностью с моей стороны.)

В большей части предлагаемых рассуждений я не стану проводить четкую границу между непротиворечивостью и ω-непротиворечивостью, однако тот вариант теоремы Гёделя, что представлен в §2.5, по сути, гласит, что если формальная система F непротиворечива, то она не может быть полной, так как не может включать в себя в качестве теоремы утверждение G(F). Здесь я всего этого демонстрировать не буду (интересующиеся же могут обратиться к [223]). Вообще говоря, для того чтобы эту форму гёделевского доказательства можно было свести к доказательству в моей формулировке, система F должна содержать в себе нечто большее, нежели просто «арифметику и обыкновенную логику». Необходимо, чтобы система F была обширной настолько, чтобы включать в себя действия любой машины Тьюринга. Иначе говоря, среди утверждений, корректно формулируемых с помощью символов системы F, должны присутствовать утверждения типа: «Такая-то машина Тьюринга, оперируя над натуральным числом n, дает на выходе натуральное число p». Более того, имеется теорема (см. [223], главы 11 и 13), согласно которой так оно само собой и получается, если, помимо обычных арифметических операций, система F содержит следующую операцию (так называемую μ-операцию, или операцию минимизации): «найти наименьшее натуральное число, обладающее таким-то арифметическим свойством». Вспомним, что в нашем первом вычислительном примере, (A), предложенная процедура действительно позволяла отыскать наименьшее число, не являющееся суммой трех квадратов. То есть, вообще говоря, право на подобные вещи за вычислительными процедурами следует сохранить. С другой стороны, именно благодаря этой их особенности мы и сталкиваемся с вычислениями, которые принципиально не завершаются, — например, вычисление (В), где мы пытаемся отыскать наименьшее число, не являющееся суммой четырех