правила по отдельности. Таким образом, наше прежнее заключение остается в силе: при установлении математических истин мы не применяем познаваемо обоснованные наборы алгоритмических правил.
Не помешает несколько более подробно остановиться на сравнительно незначительном увеличении сложности, сопровождающем переход от A к Ck(k). Помимо прочего, это существенно поможет нам в нашем дальнейшем исследовании (в §§3.19 и 3.20). В Приложении А предложено явное описание вычисления Ck(k) в виде предписаний для машины Тьюринга, рассмотренных в НРК (глава 2). Согласно этим предписаниям, под обозначением Tm понимается «m-я машина Тьюринга». Для большего удобства и упрощения рассуждений здесь мы также будем пользоваться этим обозначением вместо «Cm», в частности, для определения степени сложности вычислительной процедуры или отдельного вычисления. В соответствии с вышесказанным, определим степень сложности μ машины Тьюринга Tm как количество знаков в двоичном представлении числа m (см. НРК, с. 39); при этом степень сложности некоторого вычисления Tm (n) определяется как большее из двух чисел μ и ν, где ν — количество двоичных знаков в представлении числа n. Рассмотрим далее приведенное в Приложении А явное предписание для составления вычисления Ck(k) на основании алгоритма A, заданного в упомянутых спецификациях машины Тьюринга. Полагая степень сложности A равной α, находим, что степень сложности явного вычисления Ck(k) не превышает числа α + 210 log2(α + 336) — а это число, в свою очередь, оказывается лишь очень ненамного больше собственно α, да и то только тогда, когда число а очень велико.
В вышеприведенных общих рассуждениях имеется один потенциально спорный момент. В самом деле, какой смысл рассматривать вычисления, слишком сложные даже для того, чтобы просто их записать, или те, что, будучи записанными, возможно, потребуют на свое действительное выполнение промежуток времени, гораздо больший предполагаемого возраста нашей Вселенной, даже при условии, что каждый шаг такого вычисления будет производиться за самую малую долю секунды, какая еще допускает протекание каких бы то ни было физических процессов? Упомянутое выше вычисление — то, результатом которого является последовательность из 2265536 единиц и которое завершается лишь после выполнения этой задачи, — представляет собой как раз такой пример; при этом позицию математика, позволяющего себе утверждать, что данное вычисление является незавершающимся, можно охарактеризовать как крайне нетрадиционную. Однако в математике существуют и некоторые другие точки зрения, пусть и не до такой степени нетрадиционные, — но все же решительно презирающие всяческие условности, — согласно которым известная доля здорового скептицизма в отношении вопроса об абсолютной математической истинности идеализированных математических утверждений отнюдь не помешает. На некоторые из них, безусловно, стоит хотя бы мельком взглянуть.
Q9. Точка зрения, известная как интуиционизм, не позволяет сделать вывод о непременной завершаемое™ вычисления на определенном этапе на том лишь основании, что бесконечное продолжение этого вычисления приводит к противоречию; бытуют в математике и иные точки зрения сходного характера — например, «конструктивизм» и «финитизм». Не окажется ли гёделевское доказательство спорным, будучи рассмотрено с этих позиций?
В своем гёделевском доказательстве (в частности, в утверждении (M)) я использовал аргумент следующего вида: «Допущение о ложности X приводит к противоречию; следовательно, утверждение X истинно». Под «X» в данном случае следует понимать утверждение: «Вычисление Ck(k) не завершается». Это рассуждение относится к типу reductio ad absurdum; что же касается доказательства Гёделя в целом, то оно и в самом деле построено именно таким образом. Направление же в математике, называемое «интуиционизмом» (у истоков которого стоял голландский математик Л. Э. Я. Брауэр; см. [223] и НРК, с. 113-116), отрицает возможность построения обоснованного доказательства на основе reductio ad absurdum. Интуиционизм возник приблизительно в 1912 году как реакция на некоторые сформировавшиеся к концу девятнадцатого — началу двадцатого века математические тенденции, суть которых сводится к следующему: математический объект можно полагать «существующим» даже в тех случаях, когда нет никакой возможности этот объект так или иначе воплотить в действительности. А надо сказать, что слишком вольное применение крайне расплывчатой концепции математического существования и впрямь приводит порой к весьма неприятным противоречиям. Самый известный пример такого противоречия связан с парадоксальным «множеством всех множеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рассела. (Если множество Рассела является членом самого себя, то оно таковым не является; если же оно членом самого себя не является, то оно им, как ни странно, является! Подробнее см. §3.4 и НРК, с. 101.) Дабы противостоять общей тенденции, в рамках которой могут считаться «существующими» весьма вольно определенные математические объекты, интуиционисты полагают необоснованным математическое рассуждение, позволяющее делать вывод о существовании того или иного математического объекта на основании одной лишь противоречивости его несуществования. Доказательство существования объекта посредством reductio ad absurdum не дает абсолютно никаких оснований полагать, что упомянутый объект действительно можно построить.
Каким же образом запрет на применение reductio ad absurdum может повлиять на наше гёделевское доказательство? Вообще говоря, совсем не может, по той простой причине, что reductio ad absurdum мы применяем, если можно так выразиться, наоборот, то есть противоречие в нашем случае выводится из допущения, что нечто существует, а не из обратного допущения. С интуиционистской точки зрения все выглядит совершенно законно: мы заключаем, что объект не существует, на том основании, что противоречие возникает как раз из допущения о существовании этого самого объекта. Предложенное мною гёделевское доказательство, по сути своей, является в интуиционистском смысле абсолютно приемлемым. (См. [223], с. 492.)
Аналогичные рассуждения применимы и ко всем прочим «конструктивистским» или «финитистским» направлениям в математике, о каких мне известно. Комментарий к возражению Q8 демонстрирует, что даже та точка зрения, согласно которой последовательность натуральных чисел нельзя считать «на самом деле» бесконечной, не освобождает нас от неизбежного вывода: для установления математической истины мы таки не пользуемся познаваемо обоснованными алгоритмами.
