конечным набором вычислительных правил. Это вполне возможно, и именно так и обстоит дело со стандартными формальными системами, которые применяются в математических доказательствах, — одной из таких систем является, например, знаменитая «формальная система Цермело—Френкеля» ZF, описывающая традиционную теорию множеств.

Пояснение к используемым здесь обозначениям можно найти в §2.8. Впрочем, G(F) без ущерба для смысла рассуждения можно было бы везде заменить на Ω(F), в чем мы убедимся ниже.

Источник цитаты мне, к сожалению, обнаружить не удалось. Однако, как справедливо заметил Рихард Иожа, точная формулировка слов Фейнмана не имеет никакого значения, поскольку послание, которое они несут, применимо и к ним самим!

Как и ранее, обозначение G(F) можно без каких бы то ни было последствий заменить на Ω(F). То же справедливо и для комментариев к Q15-Q20.

Это означает, что при кодировании машины Тьюринга каждую последовательность … 110011… можно заменить на …11011… . В спецификации универсальной машины Тьюринга, описанной в НРК (см. примечание 7 после главы 2), имеется пятнадцать мест, где я этого не сделал. Чрезвычайно досадная оплошность с моей стороны, и это после того, как я приложил столько усилий, чтобы добиться (в рамках моих же собственных правил) по возможности наименьшего номера, определяющего эту универсальную машину. Упомянутая простая замена позволяет уменьшить мой номер более чем в 30 000 раз! Я благодарен Стивену Ганхаусу за то, что он указал мне на этот недосмотр, а также за то, что он самостоятельно проверил всю представленную в НРК спецификацию и подтвердил, что она действительно определяет универсальную машину Тьюринга.

Более того, сам Тьюринг первоначально предполагал вообще останавливать машину всякий раз, когда она повторно переходит во внутреннее состояние «0» из любого другого состояния. В этом случае нам не только не понадобилось бы вышеупомянутое ограничение, мы спокойно могли бы обойтись и без команды STOP. Тем самым мы достигли бы существенного упрощения, поскольку последовательность 11110 в качестве команды нам была бы уже не нужна, и ее можно было бы использовать как разделитель, что позволило бы избавиться от последовательности 111110 . Это значительно сократило бы длину предписания K, и, кроме того, вместо пятеричной системы счисления мы обошлись бы четверичной.

Одним из достаточно тривиальных «подходов», с помощью которых можно осуществить упомянутое переформулирование, является следующий: нужно просто принять за набор правил действия требуемой системы последовательность операций машины Тьюринга, корректно реализующей алгоритм F.

Эвристический принцип такого рода может принять форму гипотезы — в качестве примера укажем весьма значительную гипотезу Таиямы (обобщенную позднее в так называемую «философскую теорию Лэнгленда»), в виде следствия из которой можно представить самое, пожалуй, знаменитое из Π₁-высказываний, известное широкой публике как «последняя теорема Ферма» (см. также примечание [28]). Однако рассуждение, предложенное Эндрю Уайлзом в качестве доказательства утверждения Ферма, представляет собой не рассуждение, независимое от гипотезы Таиямы, — каким оно неизбежно оказалось бы, будь эта гипотеза правилом системы «R», — но рассуждение, доказывающее (в соответствующем случае) саму гипотезу Таиямы!

Мне, разумеется, могут возразить, и не без оснований, что создание робота-математика отнюдь не входит в перечень ближайших задач исследований в области искусственного интеллекта; соответственно, попытки отыскания упомянутого алгоритма F следует полагать преждевременными либо вовсе ненужными. Такое возражение, однако, может означать лишь то, что возражающий не совсем ясно представляет себе цели и суть настоящего обсуждения. Те точки зрения, согласно которым человеческий интеллект в целом объясним посредством алгоритмических процессов, неявно подразумевают, что алгоритм F — познаваемый или нет — потенциально существует; к нашему же выводу мы пришли, всего лишь применив свой интеллект. Математические способности не являются в этом отношении чем-то особенным; см.. в частности, §§1.18, 1.19.