тогда их скалярное произведение имеет вид
〈β|α〉 = b'0a0 + (1/n) b'1a1 + (2!/n(n - 1)) b'2a2 + (3!/n(n - 1)(n - 2)) b'3a3 + … + b'nan.
Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные формулы.
Применим полученное выражение для скалярного произведения к конкретному случаю b(x) = a* (x), т.е. к случаю двух состояний, майораново описание одного из которых состоит исключительно из точек, антиподальных точкам, составляющим майораново описание другого. Их скалярное произведение равно (с точностью до знака)
a0an - (1/n) a1an - 1 + (2!/n(n -1))a2an - 2 - … - (—1)n(1/n) an - 1a1 + (—1) nana0.
Нетрудно заметить, что при отрицательном n все члены выражения взаимно уничтожаются, а значит, можно сформулировать следующую теорему (напомним, что состояние, майораново описание которого имеет вид, скажем, P, Q, …, S, обозначается через |PQ…S〉; точка, антиподальная X, обозначается X*):
C.1 Если n нечетно, то состояние |PQR…T〉 ортогонально состоянию |P*Q*R*…T*〉.
Из общего выражения для скалярного произведения можно вывести еще два свойства:
C.2 Состояние |PPP…P〉 ортогонально любому из состояний |P*AB…D).
C.3 Состояние |QPP…P〉 ортогонально состоянию |ABC…E〉 в тех случаях, когда стереографическая проекция (из P*) точки Q* совпадает с центром тяжести множества стереографических проекций (из P*) точек A, B, C, …, E.
(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках. О стереографических проекциях мы говорили в §5.10, рис. 5.19.) Для доказательства C.3 развернем сферу так, чтобы точка P* стала ее южным полюсом. Тогда состоянию |QPP…P〉 соответствует полином xn - 1(x - χ), где χ определяет точку Q на сфере Римана. Вычислив скалярное произведение этого состояния с состоянием, представленным полиномом (x - α1)(x - α2)(x - α3)…(x - αn), майораново описание которого составляют корни α1, α2, α3, …, αn, находим, что это произведение обращается в нуль, когда
1 + n— 1χ'(α1 + α2 + α3 + … + αn) = 0,
т.е. когда —1/χ' равно (α1 + α2 + α3 + … + αn)/n, иначе говоря, когда точка — 1/χ' является центром тяжести (на комплексной плоскости) множества точек α1, α2, α3, …, αn. Что и доказывает свойство C.3. Для того чтобы доказать C.2, поместим в южный полюс точку P. Тогда состоянию |PPP…P〉 соответствует постоянная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени n, то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль, когда
α1α2 α3…αn = 0,
т.е. когда хотя бы одна точка из множества α1, α2, α3, …, αn равна 0 или, что то же самое, совпадает с северным полюсом сферы — в данном случае, с точкой P*. Что, собственно, и требовалось доказать.
Свойство C.2 позволяет интерпретировать майорановы точки в физическом смысле. Исходя из него, можно предположить, что эти точки определяют направления, измерение (типа измерения Штерна—Герлаха) спина в которых дает нулевую вероятность того, что полученное в результате измерения направление оси спина окажется диаметрально противоположным тому направлению, в котором это измерение выполнялось (см. НРК, с. 273). Кроме того, из C.2 можно вывести свойство для частного случая: если спин равен 1/2 (n = 1), то ортогональными являются исключительно те состояния, майорановы точки которых антиподальны. Свойство C.3 позволяет получить общую геометрическую интерпретацию ортогональности в случае спина 1 (n = 2). Примечателен частный случай, когда имеются два состояния, представленные в виде двух пар антиподальных точек, причем прямые, соединяющие эти точки, пересекаются в центре сферы под прямым углом. В случае спина 3/2 (n = 3) свойства C.3 (с некоторой оглядкой на C.1) вполне достаточно для подкрепления объяснений, предложенных в §5.18. (Геометрическую интерпретацию ортогональности в общем случае я здесь давать не буду; может быть, как-нибудь в другой раз.)
