4. Остается еще сказать несколько слов о том, что значит в логическом смысле получить неопределенный интеграл. Математики учат, что интегрирование всегда содержит в себе ту неопределенность, что к получаемому виду функции как первообразной мы должны еще прибавить величину с, именно произвольную постоянную величину. Объясняется это тем, что, поскольку производная от постоянного равняется нулю, в интеграле всегда должны быть те или другие постоянные, которые при дифференцировании исчезают, переходя от производной к первообразной. Мы, конечно, должны учитывать и их. Можно также сказать, что интегрирование функции в этом «неопределенном» виде дает нам интеграл как функцию только верхнего своего предела. Он ограничен «сверху», а не «снизу», т. е. если мы получаем в качестве интеграла некоторую кривую, то чертить мы ее можем, как угодно перемещая ее ординаты поступательно параллельно самим себе, ибо начало отсчета по х–гм остается совершенно неопределенным и потому произвольным. Это и называется неопределенным интегралом. Он получается всегда, когда мы идем от производной к первообразной. И если каждому интегралу соответствует только одна производная, то каждой производной соответствует бесконечное количество интегралов, правда различающихся между собою не структурой функции, но только тем или иным постоянным. Геометрически мы тут получаем не просто кривую, но т. н. семейство кривых, т. е. бесчисленное количество мест, где чертится одна и та же кривая в зависимости от допущений той или другой точки отсчета по линии х–ов при черчении данной кривой.
Спрашивается: что же соответствует в логике этому неопределенному интегралу?
Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что в определенном интеграле мы имеем в виду его абсолютное численное значение, в то время как неопределенный интеграл, оставляя неопределенными исходные данные, дает только метод получения абсолютной численной величины. Если мы путем интегрирования получим закон падения тела, то ведь очень большая разница получится в характере данного падения реального тела в зависимости от того, с какой высоты начинается падение. Эту абсолютную данность исходных условий как раз и не охватывает неопределенный интеграл. И только определенный интеграл, когда функция интегрируется в точно данных пределах изменения аргумента от какого–нибудь ?х до какого–нибудь jc2, только такой интеграл и способен дать нам абсолютное численное значение возникающей здесь первообразной.
Имея это в виду, нетрудно теперь понять, что такое в логическом смысле неопределенный интеграл и что такое в логическом смысле определенный. Неопределенный интеграл есть понятие (а оно получается здесь как и при всяком интегрировании в качестве синтеза конечного и бесконечного), есть только принцип познания, а не результат познания, в то время как определенный интеграл есть именно результат познания. В одном случае понятие нам указывает, как надо рассуждать, если данные условия именно таковы. В другом случае понятие говорит, что получается при рассуждении относительно именно этих вот реальных условий. Одно дело — исходить из каких бы то ни было условий и утверждать, что если есть то– то, то обязательно должно быть и вот что. И другое дело — исходить из данных реальных условий и утверждать, что наблюдаемое явление начинается тем–то и кончается тем–то.
Это различие между понятием как принципом познания и понятием как результатом познания весьма небесполезно для логики; и математика дает для этого точный коррелят как раз в интересующей нас сейчас инфинитезимальной области. С одной стороны, мы имеем понятие яда, полученное нами путем интегрирования общего действия известного рода химических соединений на организм; оно для нас принцип для определения того, является ли данное химическое соединение ядом. С другой стороны, мы имеем понятие карболовой кислоты, ядовитость которой не есть просто общий метод отравления организма, но именно данная определенная картина этого отравления, отличная, напр., от отравления углекислым газом. Конечно, уже и производная, как мы видели, есть некоторый принцип познания, и это уже потому, что она есть предел; она тоже есть, как мы знаем, метод охвата бесчисленных мельчайших сдвигов в наблюдаемых нами явлениях. Однако интеграл, понимаемый как принцип, идет дальше и глубже. Он не просто дает нам способ раскрывать общие тенденции в развитии и становлении признаков понятия, как это делает производная, но все эти признаки связывает в одно целое понятие. Производная есть принцип познания признаков понятия, интеграл же есть принцип познания (или установления) самого понятия. Поэтому не нужно смущаться тем, что и производная, и интеграл одинаково суть принципы познания.
5. Констатируя эту совершенно специфическую принципность интеграла, мы замечаем, что интеграл в сравнении с производной получает как бы второе измерение. Если признаки понятия рисовали нам понятие как бы с внешней стороны (они ведь, как мы знаем, и есть не что иное, как образ соотношения понятия с изменяющимися вещами) и если совокупность признаков понятия есть как бы его видимая сторона, поверхность, то само понятие лежит глубже этих признаков, оно — «подставка», «подпорка» для этих признаков, носитель этих признаков. И значит, если производная останавливает нас в области только самих же признаков, давая возможность путем предельных переходов распределять и осознать их бесконечные переливы, то интеграл погружает нас как бы вглубь от этой поверхности и прикрепляет систему признаков понятия к некоему определенному их носителю. Вот почему математики охотно понимают интеграл как площадь и объем, по крайней мере как длину кривой. Здесь бессознательно играет роль именно многомерность или по крайней мере двухмерность интеграла в сравнении с внешней «поверхностью» производной.
Если расширить и углубить это представление об интеграле, то мы и перейдем к определенному интегралу в собственном смысле слова, т. е. к интегралу как к пределу суммы, к интегралу как к площади.
6. Гораздо больше интереса представляет для нас другое определение интеграла — как предела суммы. Это т. н. определенный интеграл, т. е. интеграл, в котором определены и верхний, и нижний пределы и который поэтому есть функция своих обоих пределов. Посмотрим, что он дает для логики.
Определенный интеграл зародился в результате попыток определения площадей и объемов таких, которые ввиду своей сложности не поддавались методам элементарной арифметики и геометрии. Если мы имеем прямоугольник, то площадь его вычислить очень просто. Это — найти произведение основания прямоугольника на его высоту. Но если, напр., одну из сторон прямоугольника заменить кривой, то для определения площади такой фигуры метод умножения основания на высоту уже не годится. Здесь издавна, ёще с древнеегипетских времен, пытались свести такую фигуру на ряд таких прямоугольников, площадь которых уже не так трудно вычислить, и потом суммировали все такие прямоугольники. В наиболее совершенной форме этот метод проводится в интегральном исчислении.
Здесь берут такой «прямоугольник», верхняя сторона которого есть кривая линия и основание которого мыслится на оси х–ов, и разбивают его на прямоугольники путем перпендикуляров, восстанавливаемых к оси х–ов по мере движения х. Если мы будем количество таких прямоугольников беспредельно увеличивать и тем самым площадь каждого из них беспредельно уменьшать, т. е. если ? будет меняться непрерывно, то в определенных пределах изменения ? мы получим все увеличивающееся количество прямоугольников, которые в сумме будут стремиться к некоему пределу, что и есть площадь нашего «прямоугольника», или, как говорят, криволинейной трапеции. Геометрически, таким образом, интеграл есть площадь прямоугольника как предел суммы бесконечно возрастающего числа бесконечно умаляющихся элементарных прямоугольников, т. е. прямоугольников, возникающих при непрерывном возрастании X.
Это другое определение интеграла имеет очень важный логический смысл, если применить его к определению понятия.
Что могло бы значить понятие как предел суммы? Что это за предел и какая это сумма, чего, собственно, это сумма? Раз мы заговорили о сумме, значит, предполагаются слагаемые, части. Что же это за «части» в понятии? Конечно, это его виды, видовые понятия. Но тут не может быть перехода от родового понятия к видовому понятию, что мы находим в производной, которая ведь и есть метод получения частных понятий из общего. Тут не переход от рода к виду, но составление рода из видов. Переход здесь к виду делается только для того, чтобы полнее и расчлененнее представить самый род. Итак, родовое понятие, понятие как общее, есть сумма видовых понятий. Но это еще не интеграл.
Интеграл есть предел суммы. В таком случае, что же такое понятие как предел суммы его видов? О пределе мы имеем право говорить только тогда, когда имеется некая переменная величина, которая в результате своего увеличения или уменьшения может отличаться от другой, постоянной величины сколь
