интервалы времени фиксированной длины, но отдаленные друг от друга, то распределения любых функционалов от отрезков временного ряда в этих интервалах приближаются к независимости по мере того, как интервалы отдаляются друг от друга[144]. Соответствующая теория уже излагалась автором.

Если K(t) — достаточно непрерывная функция, то можно показать, что нули величины

           (3.65)

по теореме М. Каца, почти всегда имеют определенную плотность и что эта плотность при подходящем выборе К может быть сделана сколь угодно большой. Пусть выбрано такое К_D, что плотность равна D. Последовательность нулей величины

 ,

от —? до ? обозначим через Z_n(D, ?), —?<n<?. Конечно, при нумерации этих нулей индекс n определяется лишь с точностью до аддитивной целочисленной константы.

Пусть теперь T(t, ?) — произвольный временной ряд от непрерывной переменной t, а ? — параметр распределения временных рядов, изменяющийся равномерно в интервале (0, 1). Пусть далее

 ,          (3.66)

где Z_n — нуль, непосредственно предшествующий моменту t. Можно показать, что, каково бы почти ни было ?, для любого конечного множества значений t₁, t₂, …, t_v переменной х одновременное распределение величин T_D(t_k, ?, ?) (k=1, 2, …, v) при D>? будет приближаться к одновременному распределению величин T (t_k, ?) для тех же t_k при D>?. Но T_D (t_k, ?, ?) полностью определяется величинами t_k, ?, D. Поэтому вполне уместно попытаться выразить T_D(t_k, ?, ?) [c.143] для данного D и данного ?, либо прямо в виде (3.46), либо некоторым образом в виде временного ряда, распределение которого является пределом (в указанном свободном смысле) распределении этого типа.

Следует признать, что все это изображает скорее программу на будущее, чем уже выполненную работу. Тем не менее эта программа, по мнению автора, дает наилучшую основу для рационального, последовательного рассмотрения многих задач в области нелинейного предсказания, нелинейной фильтрации, оценки передачи информации в нелинейных системах и теории плотного газа и турбулентности. К ним принадлежат, быть может, самые острые задачи, стоящие перед техникой связи.

Перейдем теперь к задаче предсказания для временных рядов вида (3.34). Мы замечаем, что единственным независимым статистическим параметром такого временного ряда является функция Ф (t), определенная формулой (3.35). Это значит, что единственной значащей величиной, связанной с K(t), является

           (3.67)

Конечно, здесь К — величина действительная.

Применяя преобразование Фурье, положим

 .          (3.68)

Если известно K(s), то известно k(?), и обратно. Тогда

           (3.69)

Таким образом, знание Ф(t) равносильно знанию k (?)k(—?). Но поскольку K(s) действительно, то

 ,          (3.70)

откуда . Следовательно, |k(?)| ² есть известная функция, а потому действительная часть log|k(?)| также есть известная функция. [c.144]

Если записать[145]

           (3.71)

то нахождение функции K(s) эквивалентно нахождению мнимой части log k(?). Это задача неопределенная, если не наложить дальнейшего ограничения на k(?). Налагаемое ограничение будет состоять в том, что log k(?) должен быть аналитической функцией и иметь достаточно малую скорость роста относительно ? в верхней полуплоскости. Для выполнения этого условия предположим, что k(?) и [k(?)]^—1 возрастают вдоль действительной оси алгебраически. Тогда [F(?)]² будет четной и не более, чем логарифмически бесконечной функцией, и будет существовать главное значение Коши[146] для

           (3.72)

Преобразование, определяемое выражением (3.72), называется преобразованием Гильберта; оно изменяет cos ?? в sin ?? и sin ?? в —cos ??. Следовательно,

F(?)+iG(?)

есть функция вида

           (3.73)

и удовлетворяет требуемым условиям для log |k(?)| в нижней полуплоскости.

Если теперь положить

 ,          (3.74)

то можно показать, что при весьма общих условиях функция K (s), определяемая формулой (3.68), будет обращаться в нуль для всех отрицательных аргументов. Таким образом,

           (3.75)

[c.145]

С другой стороны, можно показать, что 1/k(?) записывается в виде

 ,          (3.76)

где значения N_n определены подходящим образом, и что при этом можно получить

           (3.77)

Здесь значения Q_n должны удовлетворять формальному условию

           (3.78)

В общем случае будем иметь

 ,          (3.79)

а если ввести по образцу соотношения (3.68)

 ,          (3.80)

то

 .          (3.81)