производная f' (x ) слева от x0 положительна, а справа отрицательна, то f (x ) имеет в x0 максимум; если f' (x ) слева от x0 отрицательна, а справа положительна, то — минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f' (x ) не меняет знака при переходе через точку x0 , то функция f (x ) не имеет Э. в точке x0 (точки D, Е и F на рис. 1 ). Если f (x ) в точке x0 имеет п последовательных производных, причём f' (x0 ) = f`` (x0 ) =...= f (n-1) (x0 )=0, a f (n) (x0 )¹0, то при п нечётном f (x ) не имеет Э. в точке x0 , а при п чётном имеет минимум, если f (n) (x0 ) > 0, и максимум, если f (n) (x0 ) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции .
Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М , на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х0 , y0 ) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у ) и в самой точке f'x = f'y = 0,
D = f'' xx f'' уу > 0,
то f (x, у ) в точке М имеет Э. (максимум при f ''xx < 0 и минимум при f ''xx > 0); Э. в точке М не существует, если D < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4
