235'>Квадратичное отклонение).

  Для случайной величины Х с непрерывным распределением вероятностей, характеризуемым плотностью вероятности р (х), Д. вычисляется по формуле

где

Об оценке Д. по результатам наблюдения см. Статистические оценки.

  В теории вероятностей большое значение имеет теорема: Д. суммы независимых слагаемых равна сумме их Д. Не менее существенно Чебышева неравенство, позволяющее оценивать вероятность больших отклонений случайной величины Х от её математического ожидания.

  Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969.

Диспе'рсия волн, зависимость фазовой скорости гармонических волн от их частоты. Д. определяется физическими свойствами той среды, в которой распространяются волны. Например, в вакууме электромагнитные волны распространяются без дисперсии, в вещественной же среде, даже в такой разреженной, как ионосфера Земли, возникает Д. волн. Ультразвуковые волны также обнаруживают дисперсию (см. Дисперсия звука).

  Наличие Д. волн приводит к искажению формы сигналов при распространении их в среде. Это объясняется тем, что гармонические волны разных частот, на которые может быть разложен сигнал, распространяются с различной скоростью (подробнее см. Волны, Групповая скорость). Д. света при его распространении в прозрачной призме приводит к разложению белого света в спектр (см. Дисперсия света).

Диспе'рсия зву'ка, зависимость фазовой скорости монохроматических звуковых волн от частоты. Д. з. является причиной изменения формы звуковой волны (звукового импульса) при распространении его в среде. Различают Д. з., обусловленную физическими свойствами среды, и Д. з., обусловленную наличием границ тела, в котором звуковая волна распространяется, и от свойств тела не зависящую.

  Д. з. первого типа может вызываться различными причинами. Наиболее важны случаи Д. з., связанной с релаксационными процессами (см. ниже), происходящими в среде при прохождении звуковой волны. Механизм возникновения релаксационной Д. з. можно выяснить на примере многоатомного газа. При распространении звука в газе молекулы газа совершают поступательное движение. Если газ одноатомный, то никаких других движений, кроме поступательных, атомы газа совершать не могут. Если же газ многоатомный, то при столкновениях молекул между собой могут возникать вращательные движения молекул, а также колебательные движения атомов, составляющих молекулу. При этом часть энергии звуковой волны тратится на возбуждение этих колебательных и вращательных движений. Переход энергии от звуковой волны (т. е. от поступательного движения) к внутренним степеням свободы (т. е. к колебательным и вращательным движениям) происходит не мгновенно, а за некоторое время, которое называется временем релаксации t. Это время определяется числом соударений, которое должно произойти между молекулами для перераспределения энергии между всеми степенями свободы. Если период звуковой волны мал по сравнению с t (высокие частоты), то за период волны внутренние степени свободы не успеют возбудиться и перераспределение энергии не успеет произойти. В этом случае газ будет вести себя так, как будто никаких внутренних степеней свободы вовсе нет. Если же период звуковой волны много больше, чем t (низкие частоты), то за период волны энергия поступательного движения успеет перераспределиться на внутренние степени свободы. При этом энергия поступательного движения будет меньше, чем в случае, когда внутренних степеней свободы не было бы. Поскольку упругость газа определяется энергией, приходящейся на поступательные движения молекул, то, следовательно, упругость газа, а значит и скорость звука, также будет меньше, чем в случае высоких частот. Иными словами, в некоторой области частот, близких к частоте релаксации, равной w_р = 1/t, скорость звука увеличивается с ростом частоты, т. е. имеет место так называемая положительная дисперсия. Если c₀ — скорость звука при малых частотах (wt « 1), а c_¥— при очень больших частотах (wt » 1), то скорость звука для произвольной частоты описывается формулой

Вследствие необратимости процессов перераспределения энергии в той области частот, где имеет место Д. з., наблюдается повышенное поглощение звука.

  Релаксационная Д. з. может быть не только в газах, но и в жидкостях, где она связана с различными межмолекулярными процессами, в растворах электролитов, в смесях, в которых под действием звука возможны химические реакции между компонентами, в эмульсиях, а также в некоторых твёрдых телах.

  Величина Д. з. может быть весьма различной в разных веществах. Так, например, в углекислом газе величина дисперсии порядка 4%, в бензоле ~ 10%, в морской воде меньше чем 0,01%, а в сильно вязких жидкостях и в высокополимерных соединениях скорость звука может измениться на 50%. Однако в большинстве веществ Д. з. весьма малая величина и измерения её довольно сложны. Частотный диапазон, в котором имеет место Д. з., также различен для разных веществ. Так, в углекислом газе при нормальном давлении и температуре 18°С частота релаксации равна 28 кгц, в морской воде 120 кгц. В таких соединениях, как четырёххлористый углерод, бензол, хлороформ и др., область релаксации попадает в область частот порядка 10⁹—10¹⁰ гц, где обычные ультразвуковые методы измерений не применимы и Д. з. можно измерить, только используя оптические методы.

  К Д. з. 1-го же типа, но не носящей релаксационного характера, приводят теплопроводность и вязкость среды. Эти виды Д. з. обусловлены обменом энергией между областями сжатий и разрежений в звуковой волне и особенно существенны для микронеоднородных сред. Д. з. может проявляться также в среде с вкрапленными неоднородностями (резонаторами), например в воде, содержащей пузырьки газа. В этом случае при частоте звука, близкой к резонансной частоте пузырьков, часть энергии звуковой волны идёт на возбуждение колебаний пузырьков, что приводит к Д. з. и к возрастанию поглощения звука.

  Вторым типом Д. з. является «геометрическая» дисперсия, обусловленная наличием границ тела или среды распространения. Она появляется при распространении волн в стержнях, пластинах, в любых волноводах акустических. Дисперсия скорости наблюдается для изгибных волн в тонких пластинах и стержнях (толщина пластины или стержня должна быть много меньше, чем длина волны). При изгибании тонкого стержня упругость на изгиб тем больше, чем меньше изгибаемый участок. При распространении изгибной волны длина изгибаемого участка определяется длиной волны. Поэтому с уменьшением длины волны (с повышением частоты) увеличивается упругость, а следовательно, и скорость распространения волны. Фазовая скорость такой волны пропорциональна корню квадратному из частоты, т. е. имеет место положительная дисперсия.

  При распространении звука в волноводах звуковое поле можно представить как суперпозицию нормальных волн, фазовые скорости которых для прямоугольного волновода с жёсткими стенками имеют вид

где n — номер нормальной волны (n = 1, 2, 3,...), с — скорость звука в свободном пространстве, d — ширина волновода. Фазовая скорость нормальной волны всегда больше скорости звука в свободной среде и уменьшается с ростом частоты («отрицательная» дисперсия).

  Д. з. обоих типов приводит к расплыванию формы импульса при его распространении. Это особенно важно для гидроакустики, атмосферной акустики и геоакустики, где имеют дело с распространением звука на большие расстояния.

  Лит.: Бергман Л., Ультразвук и его применение в науке и технике, пер. с нем., 2 изд., М., 1957; Михайлов И. Г., Соловьёв В. А. и Сырников Ю. П., Основы молекулярной акустики, М., 1964; Физическая акустика, под ред. У. Мэзона, пер. с англ., т. 2, ч. А, М., 1968; Фабелинский И. Л., Молекулярное рассеяние света, М., 1965.