l:href='#i-images-190707566.png'/>

графиком которой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т.к. отношение Dу/Dх не имеет предела при Dx ® 0: если Dх > 0, это отношение равно +1, а если Dx < 0, то оно равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке (см. Непрерывная функция).

  Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

  Таблица формул и правил дифференцирования

  (C)´ = 0; (xⁿ)´ = nx^n-1;

  (a^х)´ = a^x ln a и (e^x)´ = e^x;

  (log_ax)´ = 1/x ln a и (ln x)´ = 1/x;

  (sin x)´ = cos x; (cos x) ´ = – sin x;

  (tg x)´ = 1/cos² x; (ctg x)´ = – 1/sin² x;

  (arc tg x)´ = 1/(1 + x²).

  [f (x) ± g (x)]´ = f ´(x) ± g´(x);

  [Cf (x)]´ = Cf ´(x);

  [f (x) g (x)]´ = f´´(x) g (x) + f (x) g ´(x);

если y = f (u) и u = j(x), т. е. y = f [j(x)], то dy/dx = (dy/du)×(du/dx) = f¢ (u)j¢(x).

Здесь С, n и a — постоянные, a > 0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции есть снова элементарная функция.

  Если производная f' (x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f (x) и обозначают

  у', f' (x), d²y/dx², d²f/dx² или D²f (x).

Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

  Аналогично определяются и производные более высокого (целого) порядка. Производная порядка n обозначается

  yⁿ, fⁿ (x), dⁿy/dxⁿ, dⁿf/dxⁿ или Dⁿf (x).

  Дифференциал. Функция у = f (x), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х₀, называется дифференцируемой в точке x₀, если её приращение

  Dy = f (x₀ + Dx) - f (x₀)

можно записать в форме

  Dу = АDх + aDх,

где А = А (x₀), a = a(х, x₀) ® 0 при х ® x₀. В этом и только в этом случае выражение ADx называется дифференциалом функции f (x) в точке x₀ и обозначается dy или df (x₀). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении x₀ и меняющемся приращении Dx) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х₀, так и от приращения Dх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х₀, dy есть линейная функция от Dх и разность Dy - dy есть бесконечно малая относительно Dx. Для функции f (x) º х имеем dx = Dх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x₀ дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f' (x₀), и справедливо равенство dy = f' (x₀) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x₀ как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x₀ примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х₀) = f' (x₀); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f' (x₀), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f' (x₀) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

  Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции f (x) в точке х, если известны f (x₀) и f' (x₀). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

  f (x₁) » f (x₀) + df (x₀) = f