можем записать разложение числа d на простые множители в виде

d = p₁^δ₁ • p₂^δ₂ • …. • р_r^α_r, (3.2.2)

Простое число p₁ может содержаться не более α₁ раз, как и в самом числе n; аналогично — для p₂ и других простых чисел. Это значение для числа δ₁ мы можем выбрать α₁ + 1 способом:

δ₁ = 0, 1…, α₁;

аналогично и для других простых чисел. Так как каждое из α₁ + 1 значений, которые может принимать число δ₁, может сочетаться с любым из α₂ + 1 возможных значений числа δ₂ и т. д., то мы видим, что общее число делителей числа n задается формулой

τ(n) = (α₁ + 1) (α₂ + 1)… (α_r + 1). (3.2.3)

Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2.

Исследуем числа, имеющие ровно 3 делителя. В соответствии с (3.2.3) имеем

3 = (α₁ + 1) (α₂ + 1)… (α_r + 1).

Так как 3 — простое число, то справа может существовать лишь один множитель, не равный 1. Отсюда r = 1, a α₁ = 2. Таким образом,

n = p₁².

Наименьшим числом с 3 делителями является n = 2² = 4. Это соображение, примененное к общему случаю, когда число делителей q является простым числом, позволяет получить, что

q = α₁ + 1, т. е. α₁ = q — 1 и n = р₁^q-1;

наименьшим из таких чисел является

n = 2^q-1.

Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение

4 = (α₁ + 1) (α₂ + 1),

возможно только тогда, когда

α₁ = 3, α₂ = 0 или α₁ = α₂ = 1.

Это приводит к двум возможностям:

n = p₁³, n = p₁  p₂;

наименьшее число с 4 делителями — это n = 6.

В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение

6 = (α₁ + 1) (α₂ + 1),

что возможно лишь тогда, когда

α₁ = 5, α₂ = 0 или α₁ = 2, α₂ = 1.

Это дает две возможности:

n = p₁⁵, n = p₁² p₂;

при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда

p₁ = 2, p₂ = 3, n =12.

Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.

Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:

Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.

Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным, если количество делителей у каждого числа, меньшего n, меньше, чем количество делителей у числа n. Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что

1, 2, 4, 6, 12

являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.