– Теорема Ферма, – повторила девочка. – Красиво! Но почему же большая? Разве есть ещё и малая?

– Представь себе, есть, – сказал я. – Вот она, под портретом знаменитого француза. Смысл её очень прост: если какое-нибудь натуральное число возвести в степень простого числа и вычесть затем основание, то разность всегда делится на это простое число, то есть на показатель степени.

– Если это и просто, то не для меня, – вздохнула девочка.

– На словах, – возразил я. – А на примере не так страшен чёрт, как его малюют. Возьмём число 4, возведём его в степень простого числа – ну, хотя бы в третью. Получим число 64 (4³ = 64). Теперь вычтем из этого числа основание степени, то есть число 4. Получим 60. А 60 как раз и делится на показатель степени, то есть на 3. И получается при этом 20.

– Говорят, когда Ферма доказал эту теорему, – вмешался Главный терятель, – он воскликнул: «Меня озарило ярким светом!» Впрочем… впрочем, может, это воскликнул кто-нибудь другой?

– Нет-нет, – поспешно заверил я, – эти слова приписывают именно Ферма. И то сказать, такие теоремы не всякий день приходят в голову, несмотря на всю их видимую простоту. Недаром говорят: всё великое просто. И недаром малая теорема Ферма занимает такое большое место в науке о числах…

Я хотел продолжать, но девочку отвлекла витрина, отведённая математическим рядам.

– Что за ряды такие? – удивилась она. – Прямо как на рынке! Цветочный, молочный, мясной…

– На рынке ряды торговые, – возразил я, – а в математике числовые. И может их быть бесконечное множество. Потому что числовой ряд – это любая последовательность чисел. Скажем, 3, 25, 48, 364. Или: 8, 12, 93, 165, 482. Хоть это и не значит, что любой числовой ряд интересен с точки зрения математики. Математические ряды всегда строятся по какому-нибудь правилу. Один по такому, другой – по этакому. Напридумать таких правил можно сколько угодно. Куда труднее разгадать, по какому правилу ряд строили…

– Да-да, это вы верно заметили, – согласился Главный терятель. – Недавно в детском математическом журнале напечатали один числовой ряд, так я над ним целую неделю бился…

– И как, добились? – ехидно поинтересовалась девочка.

– Представь себе, да, – с гордостью ответил он.

– Интересно бы взглянуть, – полюбопытствовал я.

– Сделайте одолжение, – сказал Главный терятель. – Ряд был такой: 0, 4, 18, 48, 100, 180. А образуется он так: первое его число 0 есть 1²х0. Второе – это 2²х1. Третье – 3²х2. Четвёртое – 4²хЗ. И так далее. Иначе говоря, каждое число этого ряда равно квадрату последовательного натурального числа (начиная с единицы), умноженному на предыдущее число. Если, конечно, условно считать нуль натуральным числом, – поспешно добавил он.

– Поздравляю, – сказал я. – Закономерность этого ряда не так уж проста. Но недавно мне пришло в голову, как можно продолжить числовой ряд, его закономерности не зная.

– Счастливец, – позавидовал Главный терятель. – Хотел бы я быть на вашем месте.

– Нет ничего проще, – заверил я. – Хотя, конечно, способ мой не универсален. Он годится лишь в определённых случаях, о которых сейчас благоразумнее не распространяться…

– Ясно, – съязвила девочка, – для нас с Пусей это рановато.

– Вот именно, – подтвердил я и, вырвав листок из блокнота, написал на нём ряд чисел. – Недавно мне пришло в голову, что продолжить числовой ряд легко с помощью серии вычитаний, до тех пор вычитая из последующих чисел предыдущие, пока разность их не окажется одинаковой…

– То есть как – одинаковой? – не понял Главный терятель.

– А вот так, – сказал я. – Вот вам ряд чисел: 9, 18, 31, 48, 69. Между прочим, числа ряда называются членами. Так вот, вычитая из второго члена первый, из третьего – второй, из четвёртого – третий, из пятого – четвёртый, получаем новый, второй ряд: 9, 13, 17, 21. Повторив ту же операцию со вторым рядом, получаем третий, состоящий из одних четвёрок.

Совершенно очевидно, что продолжить второй ряд можно, прибавив к последнему члену (21) число 4. При этом получим 25. И так же очевидно, что получить следующий член первого ряда (9, 18, 31, 48, 69) можно, прибавив 25 к числу 69.

– А дальше? – понукала девочка.

– Дальше и младенцу ясно, что к каждому последующему члену второго ряда надо прибавлять четвёрку, чтобы получить разность между двумя последующими членами первого ряда. Стало быть, вслед за числом 69 должно стоять 94 (69+25=94), а за числом 94 идёт 123, так как разность в этом случае уже 25+4, то есть 29. Ну и так далее…

– Как интересно! – обрадовалась девочка. – Сейчас мы ваш способ испробуем на практике.

– Это каким же образом? – спросил я.

– Обыкновенным. Возьмём любой ряд чисел…

– Но я же предупреждал, что любой ряд не годится, – возразил я. – Тут нужен ряд определённого типа…

– Выходит, вы знали, какого типа этот?! – возмутилась девочка.

– Конечно, знал, – засмеялся я. – И какого он типа, и по какому закону построен. Но разве в том суть? Суть в том, что, и не зная закона построения, я мог бы продолжить ряд этим способом. А теперь вот и тебя научил. И Главного терятеля…

– Были бы подходящие примеры, – деликатно намекнул тот.

– За примерами дело не станет, – пообещал я. – Для начала возьмите хоть тот ряд из детского журнала: 0, 4, 18, 48, 100, 180. А потом и другой: 4, 9, 16, 25, 36, 49…

Наготове у меня было ещё несколько рядов, но продиктовать их не удалось: где-то по соседству послышался стук. Пуся навострил свои и без того острые ушки. Мы тоже насторожились.

– Если б мы не были в музее, я бы сказал, что тут рядом бильярд, – заявил Главный терятель.

– Ну да? – обрадовалась девочка. – Хорошо бы на самом деле!

Как ни странно, в соседнем зале действительно помещался бильярд. На его ярко-зелёном поле белели перенумерованные костяные шары. Правда, их было много больше обычного. Перед тем как начать партию, игроки выкладывали из них разные геометрические фигуры, а потом убирали со стола лишнее и приступали к игре.

Мне не пришлось долго думать, чтобы понять, в чём дело.

Бильярд – очень удобное место для игры в фигурные числа. А фигурными числами занимались многие прославленные математики. Вот почему устроители музея сочли возможным отвести один зал под бильярдную.

Девочка о фигурных числах до того дня и слыхом не слыхала. Сперва она расхохоталась, а потом заявила, что у чисел фигур не бывает. Ведь они же не люди!

– Конечно, не люди, – согласился я. – Число – понятие воображаемое. Но из чисел можно выкладывать разные геометрические фигуры.

Тут как раз бильярд освободился. Я придвинул к себе горку шаров и выстроил их в одну линию по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и так далее. Затем положил на середину стола шар номер 1 и пристроил под ним два других под номерами 2 и 3. Получился небольшой равносторонний треугольник, состоящий как бы из двух строк. В первой строке – один шар, во второй – два.

– Перед нами треугольник из двух числовых строк, – сказал я. – Число этих строк можно наращивать до бесконечности и всякий раз получать равносторонний треугольник, состоящий из большего числа шаров. Но мы люди скромные и ограничимся малым. Увеличим наш треугольник до… скажем, до десяти строк. И шары будем выкладывать слева направо, по порядку номеров. А теперь, – продолжал я, нарастив треугольник, – представь себе, что шары у нас не нумерованные. Сможешь ты сказать, сколько шаров пошло на постройку этого треугольника?

– Ну конечно! – фыркнула девочка. – Возьму да сосчитаю.

– Это потому, что треугольник наш невелик. А если б он был много больше? Ведь мысленно его можно продолжить до бесконечности!

– Да, – сказала девочка озадаченно, – тут, пожалуй, со счёта собьёшься…

– Ничего, – сказал я. – У нас-то шары нумерованные! И потому мы можем сразу, ничего не