происходящим, вспыхнули неизбежные потасовки.

Республиканцы были в ярости: все больше распространялось мнение о том, что д'Эрбенвилль был не обманутым женихом, а правительственным агентом, и что Стефани была не просто любовницей Галуа, а коварной соблазнительницей. Такие события, как выстрел, прозвучавший, когда Галуа находился в тюрьме Сент-Пелажи, также указывали, что уже в то время против Галуа существовал заговор с целью его убийства — слишком много хлопот он причинял властям своим неуемным характером. И друзья Галуа решили, что он обманным путем был вовлечен в роман, который был частью существовавшего против него заговора. Историки и поныне продолжают спорить по поводу того, была ли дуэль исходом трагического романа, или корни ее следует искать в политических разногласиях между республиканцами и монархистами. Но, как бы то ни было, величайший математик того времени был убит, когда ему исполнился всего двадцать один год и он успел проучиться математике только пять лет.

Прежде чем рассылать мемуары Галуа, его брат и Огюст Шевалье переписали их, чтобы сделать объяснения более понятными. Галуа, по своему обыкновению, излагал идеи торопливо, опуская существенные подробности. Этот недостаток его стиля усугубился тем, что на изложение результатов исследований, которыми он занимался несколько лет, у него была только одна ночь.

Выполняя волю Эвариста Галуа, Огюст Шевалье и Альфред Галуа разослали копии рукописи Карлу Гауссу, Карлу Якоби и другим выдающимся математикам, но прошло почти десять лет прежде, чем его работа была оценена по достоинству. Впервые это произошло, когда одну из копий получил в 1846 году Жозеф Лиувилль. Прочитав полученную рукопись, Лиувилль ощутил в ней искру гения и потратил несколько месяцев на то, чтобы разобраться в этих заметках. В конце концов Лиувилль отредактировал мемуары Галуа и опубликовал в своем престижном журнале «Journal de Mathematiques pures et appliquees». Многие математики живо откликнулись на эту публикацию, потому что Галуа продемонстрировал полное понимание того, как следует действовать, чтобы найти решения уравнений пятой степени. Сначала Галуа разделил все уравнения пятой степени на два типа: уравнения разрешимые и неразрешимые, а затем для разрешимых уравнений предложил рецепт, как найти решения таких уравнений. Кроме того, Галуа рассмотрел уравнения более высокого порядка, содержащие x⁶, x⁷ и т. д., и смог указать, какие из них разрешимы. Его труд стал одним из шедевров математики XIX века.

В предисловии к работам Галуа Лиувилль пустился в рассуждения о том, почему этот молодой математик был отвергнут старшими коллегами и как его, Лиувилля, собственными усилиями Галуа был возрожден: «Гипертрофированное стремление к точности было причиной того дефекта, которого всеми силами следует избегать при изучении абстрактных и загадочных проблем Алгебры. Ясность тем более необходима, чем дальше автор пытается увести читателя от проторенного пути вглубь неизвестной территории. Как говорил Декарт, 'при рассмотрении трансцендентальных вопросов нужно быть трансцендентально ясным'.

Галуа слишком часто пренебрегал этим предписанием, и мы можем понять, как знаменитые математики своими суровыми мудрыми советами пытались наставить на истинный путь новичка, гениально одаренного, но неопытного. Автор, которого они осудили, был перед ними, преисполненный рвения, деятельный; он мог бы извлечь пользу из данного ему совета.

Но теперь все изменилось. Галуа больше нет с нами! Не будем вдаваться в бесполезную критику; оставим же его недостатки и обратимся к достоинствам…

Мое усердие было вознаграждено, и я испытал необычайное удовлетворение в тот момент, когда, восполнив мелкие пробелы, убедился в правильности метода, с помощью которого Галуа доказал эту прекрасную теорему».

Вычисления Галуа концентрировались вокруг так называемой теории групп — идеи, которую Галуа превратил в мощное оружие, способное решать проблемы, ранее казавшиеся неразрешимыми. С точки зрения математики, группа представляет собой множество элементов, над которыми можно производить некоторую операцию (обычно ее называют сложением или умножением), удовлетворяющую определенным условиям. Важным свойством группы является ее замкнутость относительно этой операции: комбинируя любые два элемента группы с помощью операции, мы получаем другой элемент, также принадлежащий группе.

Например, целые числа образуют группу относительно операции сложения. Комбинируя с помощью операции сложения одно целое число с другим, мы получаем третье целое число, например,

4 + 12 = 16.

Все возможные результаты сложения целых чисел всегда являются целыми числами, и математики, констатируя это обстоятельство, говорят, что «целые числа замкнуты относительно сложения», или «целые числа образуют группу по сложению». Однако, целые числа не образуют группу относительно операции деления, поскольку при делении одного целого числа на другое результат не обязательно будет целым числом, например, 4:12=1/3.

Дробь 1/3 — не целое число, оно выходит за пределы исходного множества целых чисел. Но если рассматривать более широкое множество так называемых рациональных чисел, то замкнутость относительно операции деления восстанавливается: рациональные числа замкнуты относительно деления. Даже после того, как эти слова произнесены, необходимо соблюдать осторожность, так как деление на нуль (элемент множества рациональных чисел) приводит к различным математическим кошмарам. Поэтому точнее было бы утверждение: рациональные числа без нуля замкнуты относительно деления. Во многих отношениях замкнутость аналогична понятию полноты, описанному в предыдущих главах.

Целые числа и рациональные числа, или дроби, содержат бесконечное число элементов, и можно было бы предположить, что чем больше группа, тем больший интерес она вызывает к себе в математике. Но Галуа придерживался философии «чем меньше, тем лучше» и показал, что небольшие тщательно построенные группы могут обладать весьма богатым набором свойств. Вместо того, чтобы воспользоваться бесконечными группами, Галуа начал с конкретного уравнения и построил свою группу из нескольких решений этого уравнения. Именно группы, образованные из решений уравнений пятой степени, позволили Галуа получить результаты об этих уравнениях. Через полтора столетия Уайлс воспользовался теорией Галуа как одной из основ для своего доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры.

Чтобы доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, математикам было необходимо показать, что каждое из бесконечного множества эллиптических уравнений может быть поставлено в соответствие с какой-то модулярной формой. Первоначально математики пытались показать, что целая молекула ДНК одного эллиптического уравнения (E-ряд) может быть поставлена в соответствие целой молекуле ДНК (M-ряд) одной модулярной формы. Хотя такой подход вполне разумен, никому не удалось повторить процесс установления такого соответствия для бесконечно многих эллиптических уравнений и модулярных форм.

Уайлс избрал совершенно другой подход к этой проблеме. Вместо того, чтобы пытаться установить соответствие между всеми элементами E-ряда и всеми элементами M-ряда, а затем переходить к следующим рядам, он попытался установить соответствие между одним членом E-ряда и одним членом M-ряда, а затем переходить к следующей паре элементов. Иначе говоря, каждый E-ряд состоит из бесконечной последовательности элементов, своего рода генов, образующих ДНК эллиптического уравнения, и Уайлс хотел показать, что первый ген в каждом E-ряде можно поставить в соответствие первому гену какого-то M-ряда. Затем он доказал бы, что второй член E-ряда может быть поставлен в соответствие второму члену M-ряда, и т. д.

При традиционном подходе мы получили бы бесконечную задачу, состоявшую в том, что даже если бы удалось доказать соответствие между всеми членами каких-то конкретных E- и M-рядов, то и в этом случае осталось бы доказать, что такое соответствие может быть установлено между бесконечно многими остальными E-рядами и M-рядами. Избранная Уайлсом тактика обладала одним большим преимуществом.

Решающее значение имело то обстоятельство, что в методе Уайлса члены в