Еще одна замечательная особенность мозаик Пенроуза заключается в том, что они обладает весьма ограниченным уровнем симметрии. На первый взгляд может показаться, что мозаика на рис. 20 обладает трансляционной симметрией, тем не менее любая попытка совместить мозаику с самой собой завершается неудачей. Мозаики Пенроуза оказались асимметричными, и этим они так привлекли математиков, что стали исходным пунктом в развитии целого нового направления.

Интересно отметить, что мозаики Пенроуза эхом отозвались в материаловедении. Кристаллографы всегда считали, что структура кристаллов опирается на принципы, лежащие в основе разбиения на квадраты, обладающего высоким уровнем трансляционной симметрии. Теоретически строение кристаллов зиждется на весьма регулярной периодической структуре. Но в 1984 году ученые обнаружили металлический кристалл сплава алюминия и марганца, построенный на тех же принципах, что и мозаики Пенроуза. Мозаика сплава алюминия и марганца вела себя, как мозаика из воздушных змеев и дротиков, порождая кристалл почти регулярный, но не совсем. Недавно одна из французских компаний использовала кристалл Пенроуза в покрытии для сковород.

Если отличительной особенностью мозаик Пенроуза является их ограниченная симметрия, то отличительная особенность модулярных форм — их бесконечная, неисчерпаемая симметрия. Модулярные формы, изучением которых занимались Танияма и Шимура, можно подвергать трансляциям (параллельным переносам, или сдвигам), перестраивать, переставлять фрагменты, отражать в зеркалах и поворачивать бесконечно многими способами, и при этом они останутся неизменными, что делает их наиболее симметричными математическими объектами. Когда французский математик-универсал Анри Пуанкаре изучал модулярные формы в XIX веке, он испытал огромные трудности, пытаясь справиться с их огромной симметрией. Пуанкаре признавался своим коллегам, что получив модулярную форму частного вида, он на протяжении двух недель просыпался каждое утро в надежде найти ошибку в своих вычислениях. И только на пятнадцатый день он понял, что модулярные формы действительно обладают предельно возможной симметрией.

К сожалению, ни нарисовать, ни даже наглядно представить себе модулярную форму невозможно. В случае квадратной мозаики мы имеем объект, который обитает в двух измерениях. Его пространство задано осью x и осью y. Модулярную форму можно представлять себе как функцию, область определения которой находится в двух измерениях, но область значений которой также двумерна. Поэтому если бы мы хотели посмотреть на график такой функции, то он оказался бы в четырехмерном пространстве.

Еще одной особенностью модулярных форм является то, что на области их определения можно ввести специальную структуру, превращающую эту область в гиперболическое пространство. Людям, вынужденным жить в обычном трехмерном мире, понять, что такое гиперболический мир, довольно трудно, но с точки зрения математики именно эта особенность придает модулярным формам столь необычайно высокий уровень симметрии. Голландский художник Мориц Эшер был так увлечен математическими идеями, что попытался воплотить понятие гиперболического пространства в некоторых из своих гравюр и рисунков. На рис. 21 вы видите работу Эшера «Предельный круг. IV», на которой гиперболический мир втиснут в двумерную страницу. В истинно гиперболическом мире все летучие мыши и ангелы были бы одного размера, а повторы указывают на высокий уровень симметрии. Хотя некоторая симметрия ощутима и на рисунке, по мере продвижения к краю картины искажения усиливаются.

Рис. 21. «Предельный круг. IV» Морица Эшера содержит некоторые элементы симметрии модулярных форм

Модулярные формы появляются в различных обличьях, но каждую из форм можно представить в виде бесконечной суммы слагаемых специального вида, которые и отличают одну форму от другой. Эти бесконечные ряды, с помощью которых модулярная форма задается однозначно, называют модулярными рядами, или M-рядами.

Подобно тому, как E-ряды служат своего рода ДНК для эллиптических кривых, M-ряды играют роль ДНК для модулярных форм. Изменяя слагаемые M-ряда можно породить совершенно другую, но столь же симметричную, модулярную форму или полностью разрушить симметрию и создать новый объект, который не является модулярной формой. Если слагаемые выбраны произвольно, то построенный объект скорее всего будет обладать малой симметрией или даже будет полностью асимметричным.

Модулярные формы сами по себе играют весьма важную роль в математике. Они никак не связаны с предметом исследований Уайлса в Кембридже — эллиптическими кривыми. Модулярная форма — объект необычайно сложный, открытый только в XIX веке и ставший предметом пристального изучения главным образом из-за его симметрии. Кубические уравнения, соответствующие эллиптическим кривым, были известны с античных времен и не были никак связаны с симметрией. Модулярные формы и эллиптические кривые обитают в совершенно различных областях математического мира, и никому и в голову не приходило, что между ними существует какая-нибудь связь. Поэтому Танияма и Шимура повергли математическое сообщество в состояние шока своей гипотезой о том, что эллиптические кривые и модулярные формы по существу представляют собой одно и то же.