доказательство для случая n=4 остается в силе при n=8, 12, 16, 20…. Дело в том, что любое число, представимое в виде 8-й (а также 12-й, 16-й, 20-й…) степени некоторого числа, представимо и в виде 4-й степени какого-то другого целого числа. Например, число 256 равно 28, но оно равно и 44. Следовательно, любое доказательство, которое «работает» для 4-й степени, остается в силе для 8-й и любой другой степени, кратной 4. На основе того же принципа можно утверждать, что эйлеровское доказательство для n=3 автоматически переносится на n=6, 9, 12, 15…. Тем самым Великая теорема Ферма утратила свой неприступный вид и оказалась верной сразу для многих чисел n.

Особенно ценным было доказательство при n=3, так как число 3 — пример так называемого простого числа. Как мы уже объясняли, простое число обладает тем отличительным свойством, что оно не кратно ни одному целому числу, кроме 1 и самого себя. Помимо уже названного числа 3 простыми также являются числа 5,7,11,13… Все остальные числа кратны простым и называются составными числами. Те, кто занимается теорией чисел, считают простые числа наиболее важными потому, что те представляют собой как бы атомы чисел. Простые числа — «кирпичики», из которых построены все остальные числа, поскольку те можно получить как произведения различных комбинаций простых чисел. Казалось бы, это обстоятельство открывает путь к решению проблемы Ферма. Чтобы доказать Великую теорему Ферма при всех значениях n, достаточно доказать ее для простых значений n. Во всех остальных случаях числа n кратны простым числам, и доказательство следует из уже рассмотренных случаев.

Интуитивно это необычайно упрощает проблему, так как дает возможность исключить из рассмотрения все значения n, которые не являются простыми числами. Резко сокращается число уравнений. Например, при значениях n до 20 доказательство следует провести только для шести уравнений:

x⁵ + y⁵ = z⁵,

x⁷ + y⁷ = z⁷,

x¹¹ + y¹¹ = z¹¹,

x¹³ + y¹³ = z¹³,

x¹⁷ + y¹⁷ = z¹⁷,

x¹⁹ + y¹⁹ = z¹⁹.

Если бы кому-нибудь удалось доказать Великую теорему Ферма для одних лишь простых значений n, то она оказалась бы доказанной для всех значений n. Целых чисел бесконечно много, простые же числа составляют лишь их незначительную долю. Возможно, теорема Ферма станет намного проще, если доказывать ее только для простых чисел?

Интуиция подсказывает, что если вы начнете с какой-то бесконечной величины и изымите из нее бoльшую часть, то у вас останется нечто конечное. К сожалению, интуиция не может служить арбитром истины в математике. Роль арбитра исполняет логика. Оказывается, можно доказать, что перечень простых чисел бесконечен. Следовательно, несмотря на то, что мы можем исключить из рассмотрения подавляющее большинство уравнений при составных значениях n, количество уравнений Ферма с простыми значениями n по-прежнему остается бесконечным.

Доказательство того, что простых чисел бесконечно много, восходит к Евклиду и принадлежит к числу классических рассуждений в математике. Евклид начинает с предположения о том, что перечень известных простых чисел конечен, и доказывает, что в этот перечень придется вносить бесконечно много дополнений. В самом деле, предположим, что в конечный исходный перечень Евклида внесено N простых чисел, которые мы обозначим P₁, P₂, P₃…, P_N . Из них Евклид образует новое число Q_A , такое, что

Q_A = (P₁·P₂·P₃·…·P_N ) + 1.

Какое оно, новое число Q_A , — простое или составное? Если оно простое, то нам удалось построить новое простое число, большее, чем любое простое число, указанное в исходном перечне. Это означало бы, что исходный перечень не полон. С другой стороны, если число Q_A составное, то оно должно без остатка делиться на какое-то из простых чисел. Это простое число-делитель не может быть одним из чисел, включенных в исходный перечень, так как при делении на любое из уже перечисленных простых чисел Q_A дает остаток, равный 1. Следовательно, делителем числа Q_A должно быть какое-то новое простое число, которое мы обозначим P_N+1.

Итак, мы пришли к тому, что либо Q_A само является простым числом, либо делится на какое-то новое простое число P_{N +1}. И в том, и в другом случае исходный список простых чисел необходимо дополнить. Включив наше новое простое число (Q_A или P_N+1) в перечень, мы можем повторить рассуждение и образовать новое число Q_B . Это новое число либо будет еще одним новым простым числом, либо будет делиться на простое число P_N+2, еще не включенное в наш перечень известных простых чисел. Итогом этого рассуждения служит заключение, согласно которому сколь бы длинным ни был наш перечень простых чисел, его всегда можно дополнить новым простым числом. Следовательно, наш перечень никогда не кончится — он бесконечен.

Но как может быть нечто, явно меньшее бесконечной величины, также быть бесконечным? Немецкий математик Давид Гильберт сказал однажды: «Бесконечность! Ни один вопрос не оказывал столь глубокого воздействия на человеческий дух, ни одна идея не стимулировала столь плодотворно интеллект человека, и тем не менее ни одно понятие не нуждается в прояснении так сильно, как понятие бесконечности». Чтобы разрешить парадокс бесконечности, необходимо определить, что следует понимать под бесконечностью. Георг Кантор, работавший над проблемой бесконечности наряду с Гильбертом, определил бесконечность как длину нескончаемого перечня натуральных чисел (1,2,3,4…). По Кантору, все, что по величине сравнимо с длиной перечня  натуральных чисел, также бесконечно.

Следуя этому определению, нам придется признать, что множество четных натуральных чисел, которое интуитивно кажется меньше, чем множество всех натуральных чисел, также бесконечно. Нетрудно доказать, что всех натуральных чисел столько же, сколько четных натуральных чисел, поскольку каждому натуральному числу можно подобрать пару — соответствующее четное число:

Коль скоро каждому элементу перечня натуральных чисел можно поставить в соответствие элемент перечня четных чисел, то оба перечня должны быть одинаковой длины. Такой метод сравнения приводит к некоторым удивительным заключениям, в том числе к заключению о существовании бесконечно многих простых чисел. Кантор был первым, кто занялся формальным анализом понятия бесконечности, и математическое сообщество подвергло его теорию множеств резкой критике за радикальное определение бесконечности, предложенное им. К концу творческого периода Кантора нападки на него стали принимать все более личный характер и привели к тяжелой душевной болезни и глубокой депрессии Кантора. Его идеи получили признание уже после его кончины как единственно последовательное и эффективное определение бесконечности. Воздавая должное заслугам Кантора, Гильберт сказал: «Никто не может изгнать нас из рая, который Кантор создал для нас».