десятичной дроби не позволяет получить ничего, кроме приближения, например, 1,414213562373…
Хотя Евклид, несомненно, питал интерес к теории чисел, его величайший вклад в математику был сделан в другой области. Истинной страстью Евклида была геометрия, и из тринадцати книг, составляющих «Начала», книги I–VI посвящены планиметрии (двумерной геометрии), а книги XI–XIII — стереометрии. Этот свод геометрических знаний был настолько полным, что содержание «Начал» составляло основу программ по геометрии в школах и университетах на протяжении следующих двух тысяч лет.
Математиком, составившим подобный свод знаний по теории чисел, стал Диофант Александрийский, последний защитник греческой традиции. Хотя достижения Диофанта в теории чисел достаточно задокументированы в его книгах, по существу ничего больше об этом замечательном математике не известно. Не известно, где он родился. В Александрию Диофант мог прибыть в любое время на протяжении «окна», протяженностью в пять веков! В своих сочинениях Диофант цитирует Гипсикла, из чего можно сделать вывод, что Диофант жил после 150 года до н. э.; с другой стороны, труды самого Диофанта цитирует Теон Александрийский, из чего следует, что Диофант жил до 364 года н. э. Разумной обычно считается дата — около 250 года н. э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта. По преданию, оно было высечено на его надгробии в виде задачи-головоломки, словно специально предназначенной любителям математики:
«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь».
Требовалось вычислить продолжительность жизни Диофанта. Решение этой задачи приведено в Приложении 3.
Эта головоломка может служить примером задач того рода, которые любил Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Ныне такие задачи известны под названием диофантовых. Деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения, в том числе и для Пьера де Ферма. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян.
На протяжении столетий, разделяющих Евклида и Диофанта, Александрия продолжала оставаться интеллектуальной столицей цивилизованного мира, но весь этот период великий город находился под угрозой нападения иностранных армий. Первое крупное нападение произошло в 47 году до н. э., когда Юлий Цезарь предпринял попытку сбросить Клеопатру с трона, предав сожжению александрийский флот. Библиотека, расположенная неподалеку от гавани, сильно пострадала от пожара. Сотни тысяч книг погибли. К счастью для науки, Клеопатра по достоинству ценила значение Библиотеки и решительно вознамерилась восстановить ее в прежней славе. Марк Антоний понял, что путь к сердцу просвещенной царицы лежит через Библиотеку, и пошел маршем на Пергам. В этом городе уже была заложена своя библиотека. Правители города надеялись, что со временем она станет самым богатым книгохранилищем в мире, но Марк Антоний помешал сбыться этим надеждам, отправив все собрание книг в Египет и восстановив тем самым главенство Александрии.
На протяжении четырех следующих веков Библиотека продолжала пополнять свою коллекцию — до 389 года н. э., когда ей был нанесен первый из двух роковых ударов. Причиной обоих ударов стал религиозный фанатизм. Византийский император Феодосий приказал епископу Александрийскому Теофилу разрушить все языческие монументы. К сожалению, восстанавливая и восполняя Библиотеку, Клеопатра решила отвести под нее храм Сераписа. По приказу императора, это здание было разрушено, а «языческие» ученые, пытавшиеся спасти рукописи, накопленные за шесть веков, растерзаны толпой фанатиков. Началась мрачная эра Средних веков.
Несколько драгоценных экземпляров наиболее важных книг пережили бойню, учиненную христианами, и ученые продолжали наведываться в Александрию в поисках знания. Но в 642 году последовало нападение мусульман. На этот раз поражение потерпели христиане. На вопрос, что делать с Библиотекой, одержавший победу халиф Омар заявил, что книги, противоречащие Корану, должны быть уничтожены как вредоносные, а книги, согласующиеся с Кораном, также должны быть уничтожены как излишние. Рукописи были брошены в печи, которыми отапливались публичные бани, и греческая математика обратилась в дым. Не удивительно, что большая часть «Арифметики» Диофанта оказалась уничтоженной. Следует считать чудом, что шесть книг «Арифметики» смогли уцелеть, пережив трагедию Александрии.
Следующую тысячу лет математика на Западе пребывала в упадке, и только несколько выдающихся ученых Индии и Аравии не дали ей окончательно угаснуть. Они скопировали формулы из сохранившихся греческих математических рукописей и принялись заново придумывать для этих формул утраченные теоремы. Кроме того, они пополнили математику новыми элементами и среди прочего изобрели число нуль.
В современной математике нуль выполняет две функции. Во-первых, нуль позволяет нам различать такие числа, как 52 и 502. В системе счисления, в которой положение цифры определяет ее значение, символ 0 необходим для обозначения пустой позиции. Например, 52 означает 5 раз по десять плюс 2 раза по единице, в то время как 502 означает 5 раз по сто, 0 раз по десять и 2 раза по единице. Нуль играет решающую роль при устранении неоднозначности. Даже вавилоняне, жившие за три тысячи лет до н. э., оценили использование нуля во избежание путаницы, и греки восприняли идеи вавилонян, используя кружок, похожий на тот символ нуля, который мы используем сегодня. Однако нуль выполняет еще одну, более деликатную и значительную, функцию, которую полностью оценили лишь через несколько столетий индийские математики. Они осознали, что нуль не только позволяет заполнить пробел между значащими цифрами, но и существует сам по себе, независимо от других чисел. Так абстрактное понятие «ничего» впервые обрело свой осязаемый символ.
Современному читателю изобретение нуля может показаться тривиальным шагом, но не следует забывать о том, что именно вторая, более глубокая функция нуля ускользнула от внимания всех древнегреческих философов, в том числе Аристотеля. По мнению Аристотеля нуль должен был быть объявлен вне закона, поскольку он нарушал единообразие других чисел: деление обыкновенного числа на нуль приводило к непостижимому результату. К VI веку индийские математики уже не заметали проблему нуля под ковер, а индийский ученый VII века Брахмагупта оказался уже настолько искушенным, что использовал деление на нуль для определения бесконечности.
В то время как Европа оставила благородный поиск истины, Индия и Аравия укрепляли знание, тайно похищенное на пепелище Александрии, и излагали его на новом, более выразительном языке. Индийские и арабские математики не только пополнили математический словарь нулем, но и заменили примитивные греческие символы и неуклюжие римские числительные общепринятой и ныне системой счисления. Последнее достижение, как и введение нуля, может показаться ничтожно малым продвижением, но попробуйте умножить CLV на DCI, и вы оцените значение этого прорыва: эквивалентная задача умножения 155 на 601 гораздо проще. Развитие любой научной дисциплины зависит от ее способности развивать свои идеи и обмениваться ими, а это в свою очередь определяется научным языком, который должен быть достаточно подробным и гибким. Идеи Пифагора и Евклида отличались большим изяществом, несмотря на грубое и неуклюжее оформление, но после перевода в арабскую символику они расцвели и принесли много плодов, породив новые и богатые понятия.
В X веке французский ученый Герберт Аврилакский перенял новую систему счисления у испанских мавров и, занимаясь преподаванием в церквах и школах по всей Европе, внедрил новую систему на Западе. В 999 году он был избран папой Сильвестром II, и это позволило ему способствовать еще большему распространению новых индо-арабских цифр. И хотя необычная эффективность новой системы счисления произвела подлинный переворот в выполнении всех счетных операций и была быстро воспринята купцами, она слабо способствовала оживлению европейской математики.
Жизненно важным, поворотным пунктом в развитии западной математики стал 1453 год, когда турки разграбили Константинополь. За прежние годы рукописи, спасенные после уничтожения Александрии, нашли
