Единичкин способ понравился, и все тут же стали проверять его на практике. Сева, например, стал возводить в квадрат недавно избранное им число 615. Отделил 15, установил, что в нём содержатся три пятёрки, и приписал тройку справа от шести: 63. Далее умножил 63 на шесть, то есть на оставшееся после отделения число: 63*6=378. Ребята внимательно следили за его рассуждениями. Затем по известному уже правилу Сева возвёл в квадрат 15, получил, естественно, 225 и приписал это число к числу 378.

И получилось 378 225.

А вот у Тани произошла заминка. Она стала возводить в квадрат 435. Как и полагается, отделила 35 (в этом числе 7 пятёрок). Приписала семёрку к четвёрке и умножила на четыре: 47*4=188. Быстро возвела в квадрат 35, получила 1225, а дальше…

— Чепуха получается!

В самом деле, приписав к 188 число 1225, Таня получила явно нелепый ответ, раз в 10 больше возможного: 1 881 225!

— Выходит, в Единичкином способе есть какой-то изъян, — грустно заключила она. — Жаль!

— Никакого изъяна, — успокоил я Таню. — Дело в том, что приписывать справа можно только трех-, но не четырехзначные числа. А у тебя-то получилось четырехзначное — 1225.

— Не могу же я сделать из него трехзначное! — вспылила Таня.

— И не надо! Припиши только последние три цифры — 225, а единицу прибавь к числу слева — к 188. Получишь 189. Вот к ста восьмидесяти девяти и приписывай теперь 225. И получишь 189 225.

— И как это вы догадались? — позавидовал Нулик. — Только мне-то нужно точное математическое доказательство. Знаете сами, без доказательств я ничему не верю.

Все согласились, что президент прав. Поэтому решили непременно найти Единичкиному правилу точное обоснование. Поиски, правда, отложили, а пока что занялись последним приключением Магистра, и Нулик тут же, с ходу спросил, что такое аналогия?

— Аналогия — это подобие, соответствие, — объяснил я. — Иногда такие соответствия можно найти между самыми на первый взгляд разными явлениями.

— Ах так?! — обрадовался президент. — Тогда, может, скажете, какая аналогия между падением тел и площадью круга или между длиной окружности и давлением жидкости?

— Спроси ещё, что общего между кручением вала и мыльными пузырями! — возмутился Сева.

— На первый взгляд ничего, конечно, — сказал я. — Но математики, между прочим, обнаруживают иногда аналогии в явлениях самых разных.

— Каким образом? — полюбопытствовал Нулик.

Вместо ответа я рассказал ребятам

— Интересная сказка! — похвалил президент. — Но при чём здесь математика и математические аналогии?

— Сказка — ложь, да в ней намёк, добрым молодцам урок! — ответил я. — Ведь к любой математической задаче тоже надо сперва подобрать подходящий ключик. Вот попробуем решить такую задачу. В магазины привезли яблоки одного сорта, и поэтому продавали их повсюду по одной цене. Спрашивается: какую выручку от продажи этих яблок получил каждый магазин в отдельности?

— Как же решать задачу, когда ничего не известно — ни цены, ни сколько яблок завезено? — рассердился Нулик.

— В таком случае, — предложил я, — решим задачу попроще. Пусть нам нужно узнать выручку только одного магазина, который продал 50 килограммов яблок по шестидесяти копеек за килограмм.

— Другой разговор! — оживился президент. — Умножим 50 на 60, и выручка в кармане — 30 рублей!

— Правильно! Но ведь точно так же ты будешь вычислять выручку и любого другого магазина. Поэтому все решения можно обобщить одним-единственным. Обозначим цену буквой a, а количество проданных яблок буквой x. Тогда выручка (обозначим её буквой y) окажется равной a, умноженному на х, то есть: ax. Получим равенство: y=ax. Остаётся подставить вместо букв числа, то есть цену и количество яблок, проданных каждым магазином, — и задача решена.

— Понятно! — просиял Нулик. — Значит, равенство y=ax — тот самый ключик, который пригоден для всех фруктовых магазинов?

— Что фруктовые магазины! Будь ключик пригоден только для магазинов, великие возможности математики были бы слишком сужены. Одним и тем же математическим равенством можно выразить явления самые разнородные! Вот, например, что общего между выручкой магазина и полётом ракеты на Венеру? Казалось бы, ничего? Ан нет, общее есть! И тут и там надо воспользоваться одним и тем же ключиком. Пусть ракета уже вырвалась из объятий земного притяжения и с постоянной скоростью несётся в космосе. Стоит обозначить скорость ракеты все той же буквой a, а время её полёта буквой x, как мы сразу вычислим путь y, который пролетит ракета за это время. Надо только подставить соответствующие числа в наше волшебное «яблочное» равенство: y=ax.

Возьмём теперь совсем другую задачу: каково давление жидкости на дно сосуда? И тут нам поможет все тот же ключик: y=ax. Только теперь буквой a будет обозначен удельный вес жидкости, а буквой x — высота её уровня над дном сосуда. Много самых различных задач поможет нам решить волшебный ключик. В том-то и ценность математики, что для явлений разного порядка — из области механики, физики, химии, астрономии, биологии — она находит общие математические выражения. Иначе говоря, между многими различными явлениями существует ПОЛНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ, то есть соответствие.

— П-АНА-МА, — подмигнул президент.

— Можно и так, — улыбнулся я. — Вот почему математика проникла во все области человеческих знаний. Конечно, не все явления можно охватить одной аналогией. Равенство y=ax, например, уже не пригодно для того, чтобы выяснить, какой путь пролетает за каждую секунду падающее тело. Тут нужен другой ключик: y=ax². Но и этот ключик пригоден в разных случаях: для вычисления площади круга и для многих других аналогичных задач… Разные группы задач требуют и разных ключей, иногда, кстати, очень сложных и замысловатых. Впрочем, учёные — мастера изготовлять и подбирать ключи самых причудливых фасонов!

Сева осторожно дотронулся до моей руки.