Если бы исходные сосуды имели в окружности соответственно 1 и 3 фута, то ответом служили бы числа сумма кубов которых равна 28. (См. также головоломку 61.)
Зная какое-то выражение числа в виде суммы или разности двух кубов, мы можем по формуле получить отсюда бесконечно много других представлений этого числа с помощью попеременно положительных и отрицательных чисел. Так, Ферма, отправляясь от известного равенства I3 + 23 = 9 (которое мы назовем основным), сначала получил решение из большйх отрицательных чисел, а затем решение из еще больших положительных чисел. Но существует бесконечно много основных соотношений, и я с помощью ряда проб нашел исходное решение из отрицательных чисел (меньших, чем те, что на первом шаге получил Ферма), из которого я уже и вывел решение, указанное выше. Это простое объяснение.
О любом числе до 100, за исключением 66, мы можем сказать, представимо ли оно в виде суммы двух кубов или нет. Студентам следует обратиться к курсу теории чисел.
Несколько лет назад я опубликовал решение для случая для которого Лежандр привел обстоятельное «доказательство» невозможности такого представления, но я обнаружил, что Люка предвосхитил появление моего решения.
21. На рисунке показано, как можно посадить 16 деревьев, чтобы они образовали 15 рядов по 4 дерева в каждом ряду. Это число рядов больше того, которое уже давно считалось максимальным. Хотя при нынешнем уровне наших знаний невозможно строго доказать, что число 15 нельзя превзойти, тем не менее я свято верю в то, что это максимально возможное число рядов.
22. Ответ приведен на рисунке, где сумма чисел вдоль каждого из 10 рядов равна 30. Трюк состоит в том, что хотя 6 бутылок (3, 5, 6, 9, 10 и 15), в которых стоят цветы, и не передвигаются, но все 16 бутылок не обязаны располагаться точно на том же участке стола, что и раньше. На самом деле квадрат передвинут на один шаг влево.
23. Портрет можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, одним росчерком, поскольку на нем есть только две точки, в которых соединяется нечетное число линий, но при этом совершенно необходимо, чтобы рисунок начинался в одной из этих точек, а заканчивался в другой. Одна точка находится вблизи внешнего края левого глаза короля, а другая — под ней, на левой щеке.
24. Пятьсот серебряных пенни можно разместить по четырем мешкам при заданных условиях ровно 894 348 различными способами. Если бы монет было 1000, то число способов возросло бы до 7 049 112. Это трудная задача на разбиение чисел. У меня есть единая формула, позволяющая решить задачу при любом числе монет для случая четырех мешков, но ее крайне трудно получить, и лучший метод состоит в том, чтобы найти 12 отдельных формул для различных сравнений по модулю 12.
25. Даже поверхностное изучение исходного рисунка покажет читателю, что если понимать условия такими, какими они кажутся с первого взгляда, то головоломку решить совершенно невозможно. Следовательно, нужно поискать какую-нибудь брешь в условиях, если их понимать буквально. Если бы Священник мог обойти исток реки, то на пути в церковь он смог бы пройти по одному и только одному разу через каждый мост, как показано на рисунке. Мы вскоре увидим, что это не запрещено. Хотя на рисунке показаны все мосты в приходе, но на нем представлена лишь часть самого прихода. Нигде не сказано, что река не берет свое начало на территории прихода, и, поскольку это единственный способ решить задачу, мы должны принять, что река начинается в данном приходе. Следовательно, на рисунке показано решение. Стоит отметить, что условие четко запрещает нам обходить устье реки, поскольку в нем сказано, что река впадает в море «через несколько сотен миль к югу», а ни один приход на свете не тянется на сотни миль!
26. На рисунке показано, каким образом треугольный кусок материи можно разрезать на 4 части, из которых затем удается сложить правильный квадрат. Разделим AВ пополам в точке D, а ВС в точке Е. Продолжим прямую АЕ до точки F так, чтобы ЕF равнялось ЕВ. Разделим пополам AF в точке G и проведем дугу АНF. Продолжим ЕВ до точки H; ЕН как раз и равно стороне искомого квадрата. Из Е как из центра радиусом ЕН опишем дугу HJ и отложим отрезок JK, равный BE. Теперь из точек D и К опустим перпендикуляры на EJ с основаниями в точках L и М. Если вы все это проделаете аккуратно, то и получите отрезки, вдоль которых следует провести разрезы.
Я выступал с этой задачей, поставленной в более общей форме, перед Королевским обществом в Берлингтон-Хауз, а также в Королевском институте. Эта задача была также предложена читателям газеты «Дейли мейл» (выпуски от 1 и 8 февраля 1905 г.), но среди сотен ответов не было ни одного правильного. Исключение составил лишь ответ К. У. М’Елроя.
Я добавил еще один рисунок, на котором решение задачи показано в более любопытной и удобной для практики форме. Все части модели можно сделать из красного дерева, скрепив их бронзовыми шарнирами, дабы ее удобно было показывать в аудитории. Легко заметить, что все четыре части образуют нечто вроде цепочки. Если закрутить эту цепочку в одном направлении, то получится треугольник, а если ее закрутить в противоположную сторону, то получится квадрат.
27. Правильный ответ — это 18 816 различных
