Если иметь дело с ферзями на досках n×n, где n меньше 8, то представляют интерес следующие результаты:

1 ферзь защищает доску 2×2 одним существенным способом;

1 ферзь защищает доску 3×3 одним существенным способом;

2 ферзя защищают доску 4×4 тремя существенными способами (защищая друг друга);

3 ферзя защищают доску 4×4 двумя существенными способами (не защищая друг друга);

3 ферзя защищают доску 5×5 тридцатью семью существенными способами (защищая друг друга);

3 ферзя защищают доску 5×5 двумя существенными способами (не защищая друг друга);

3 ферзя защищают доску 6×6 одним существенным способом (защищая друг друга);

4 ферзя защищают доску 6×6 семнадцатью существенными способами (не защищая друг друга);

4 ферзя защищают доску 7×7 пятью существенными способами (защищая друг друга);

4 ферзя защищают доску 7×7 одним существенным способом (не защищая друг друга).

Мы знаем, что и ферзей можно всегда разместить на квадратной доске с n² клетками (если n > 3), чтобы ни один ферзь при этом не атаковал другого ферзя. Однако общей формулы, позволяющей найти число всех таких размещений, еще не найдено; вероятно, ее просто не существует. Известны следующие результаты:

при n = 4 существует 1 фундаментальное решения, а всего 10 решений;

при n = 5 существует 2 фундаментальных решения, а всего 10 решений;

при n = 6 существует 1 фундаментальное решение, а всего 4 решения;

при n = 7 существует 6 фундаментальных решений, а всего 40 решений;

при n = 8 существует 12 фундаментальных решений, а всего 92 решения;

при n = 9 существует 46 фундаментальных решений;

при n = 10 существует 92 фундаментальных решения;

при n = 11 существует 341 фундаментальное решение.

Очевидно, n ладей можно разместить на доске n×n так, чтобы они не атаковали друг друга, n! способами, но вот сколько среди них существенно различных, мне удалось узнать лишь для четырех случаев, когда n равно 2, 3, 4 и 5. Ответами будут соответственно 1, 2, 7 и 23 (см. головоломку «Четыре льва»).

Мы можем разместить 2n—2 слонов на доске n×n двумя способами (см. головоломку «Собрание слонов»). Для досок со стороной в 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 клеток существует соответственно 1, 2, 3, 6, 10, 20, 36 фундаментально различных размещений. В случае нечетного n существует 2^1/2(n-1) таких размещений, каждое из которых порождает с помощью поворотов и отражений по 4 других размещения, и 2^n-3-21^/2(n-3) размещение, порождающие по 8 других размещений. В случае четного n их существует 2^1/2(n-2), каждое с помощью поворотов и отражений порождает по 4, и 2^n-3—2^1/2(n-4), порождающих по 8 размещений.

На доске и х и мы можем разместить ½ (n² + 1) коней, не атакующих друг друга, в случае нечетного п одним существенным способом, а когда и четно, то ½n² коней удается разместить также одним существенным способом. В первом случае мы всех коней размещаем на клетках того же цвета, что и центральная, а во втором случае мы их всех ставим только на черные или только на белые клетки.

На доске с n² клетками два ферзя, две ладьи, два слона или два коня всегда можно расположить (безотносительно к тому, атакуют ли они друг друга или нет) способами. Следующие формулы показывают, сколькими из способов две фигуры можно расположить при условии взаимной атаки и без нее.

(См. головоломку «Охота на льва».)

147. Турне ладьи. Единственную ладью требуется передвигать по всей доске так, чтобы она посетила каждую клетку ровно по одному разу и закончила свое турне в той клетке, с которой его начала. При этом следует сделать как можно меньшее число ходов, но если вы будете не очень внимательны, то совершите ровно на один ход больше, чем нужно. Разумеется, клетка считается «посещенной» как в случае, если вы просто проходите через нее, так и в случае остановки в ней. Нас не должны волновать софизмы вроде того, что мы дважды посещаем исходный квадрат. Будем считать, что мы посещаем его один раз.

148. Путешествие ладьи. В названии этой головоломки я не случайно употребил слово «путешествие», поскольку слово «турне» означает возвращение в исходное место, а в данном случае мы не будем этого делать. Ладья делает 21 ход, посетив каждую клетку доски ровно по одному разу, останавливается в клетке 10 в конце десятого хода и заканчивает путешествие в клетке 21. Два последовательных хода нельзя делать в одном и том же направлении; другими словами, вы должны поворачивать после каждого хода.

149. Еще одна томящаяся дева. Злой барон в добрые старые времена заточил одну невинную деву в глубокую темницу, которая находилась подо рвом замка. На рисунке вы видите 63 камеры темницы, которые соединены между собой открытыми дверьми, и камеру, где прикована дева. Некий доблестный рыцарь, который любил эту деву, сумел вызволить ее из рук врага. Добравшись до входа в темницу, как показано на рисунке, он затем дошел и до камеры, где томилась дева, посетив по дороге каждую камеру ровно по одному разу. Возьмите карандаш и попытайтесь обозначить его путь. Преуспев в этом, попробуйте свести этот путь к 22 прямолинейным отрезкам. Это можно сделать, по-прежнему не посетив ни одну камеру дважды.

150. Подземелье. Случилось когда-то во Франции, что один узник за собственные ли грехи или грехи чужие был брошен в подземелье, где насчитывалось 64 камеры, связанные между собой открытыми дверьми, как показано на рисунке. Дабы чем-то скрасить однообразие заточения, он придумывал себе разные головоломки. Вот одна из них.

Как, начиная с указанной на рисунке камеры, он мог бы посетить каждую камеру ровно по одному разу, сделав при этом как можно больше поворотов? Первая попытка узника отмечена на рисунке пунктиром. Можно заметить, что путь узника состоит из 55