тестов на наличие арбитражных ситуаций находится теория ценообразования опционов и условие паритета опционных цен. Для европейских опционов с одинаковой датой экспирации паритет цен опционов пут и колл без учета дивидендов имеет вид равенства:

где N – цена опциона колл, P – цена опциона пут, X – страйк опционов, S – текущая цена базового актива, r – безрисковая ставка, t – время до экспирации. Понятие паритета основывается на принципе невозможности возникновения на эффективном рынке арбитражных ситуаций. Другими словами, не может существовать финансового инструмента или совокупности инструментов, с помощью которых можно получить без риска доходность, превышающую безрисковую ставку. Это касается любых опционных комбинаций.

Если выявляется нарушение паритета, то это говорит о том, что цены опционов ошибочны либо существует учтенная в них рынком, но неизвестная проверочному алгоритму информация – например, выплата дивидендов. Ошибочной может быть цена одного из опционов либо обоих. В последнем случае необходимо установить, цена которого из опционов искажена. Для этого следует каждый из двух опционов проверить в паре с другим опционом, успешно прошедшим тест на паритет. Другой опцион будет неизбежно иметь другой страйк либо другую дату истечения. Выявив опцион с искаженной ценой, его следует исключить из базы данных либо исправить цену путем решения уравнения паритета (цена искаженного опциона берется как неизвестное, а цена правильного опциона является константой).

Существенным недостатком данного метода является то, что он применим только для европейских опционов. Для американских опционов формула паритета имеет вид неравенства:

Из формулы следует, что для американских опционов не существует точного значения паритета. Алгоритм тестирования может установить лишь факт попадания разности цен опционов кол и пут в определенный диапазон. Выход за рамки диапазона означает нарушение паритета, однако попадание в диапазон еще не означает, что искажение цены полностью исключается. Цена одного из опционов (либо обоих) может быть неправильной, но не настолько, чтобы выйти за рамки диапазона. Впрочем, и для европейских опционов существует возможность искажения цены при соблюдении паритета. Например, если уменьшить цену пута на некую величину и при этом увеличить цену колла на такую же величину, то условие паритета будет соблюдено, несмотря на то что цены обоих опционов искажены.

Другой метод выявления искаженных данных основывается на расчетах подразумеваемой волатильности. Для этого необходимо вычислить значения подразумеваемой волатильности для всех опционов, относящихся к определенному базовому активу. В силу целого ряда причин эти значения не будут совпадать. Вместе с тем их расхождения не являются случайными. В частности, зависимость подразумеваемой волатильности от страйка в большинстве случаев имеет форму улыбки (она так и называется «улыбкой волатильности») – наименьшее значение соответствует страйку, наиболее близкому к текущей цене базового актива, а по мере удаления страйка в обе стороны (глубоко «в деньгах» и глубоко «вне денег») волатильность возрастает. Могут быть и другие формы зависимости. Однако, какова ни была бы форма зависимости, она представляет собой более-менее гладкую кривую (либо, в отдельных случаях, прямую линию). Если же одна из точек (то есть одно из значений волатильности) выпадает из общего ряда и находится далеко от того места на кривой, где должна находиться, это с большой вероятностью указывает на искажение цены опциона, соответствующего данному страйку.

Можно построить аналогичную зависимость подразумеваемой волатильности от даты экспирации. Однако удобнее всего рассматривать поверхность волатильности, представляющую собой трехмерный график зависимости подразумеваемой волатильности от страйка и даты экспирации. В нормальной ситуации такой график имеет форму относительно гладко изгибающейся поверхности. Острые пики и впадины на такой поверхности указывают на возможно некорректные значения подразумеваемой волатильности, что может свидетельствовать об искажении цены опционов.

Основная проблема данного метода состоит в том, что выявление аномальных цен базируется на визуальном анализе графиков, что абсолютно недопустимо при ежедневном автоматическом пополнении базы данных десятками тысяч новых тиккеров. Решить эту проблему можно с помощью алгоритмизации поиска точек «выброса», что во многих случаях является нетривиальной задачей. При рассмотрении одномерной линейной зависимости (например, волатильности от страйка), эта задача решается просто с помощью линейной аппроксимации. Аномальные точки находятся путем сравнения их остатков (residuals), получаемых из регрессионной модели. Если остаток некой точки отличается от среднего остатка больше, чем на пороговую величину, то это может рассматриваться как индикация искажения цены соответствующего опциона.

В тех случаях, когда зависимость нелинейна (а таких случаев большинство), приходится использовать более сложные модели апроксимации. Задача усложняется еще больше при переходе от одномерной системы к поверхностям волатильности. В этом случае приходится применять еще более сложные математические модели. Главное требование к этим моделям – достаточно точная аппроксимация данных и наличие аналитической формулы, описывающей подбираемую кривую или поверхность.

Формулы требуются для того, чтобы в случае выявления искаженных ценовых значений можно было вычислить корректную цену. Для этого необходимо удалить из модели точку-outlier и вновь рассчитать аналитическую формулу кривой либо поверхности. После этого следует вычислить новое значение подразумеваемой волатильности для данного outlier с помощью новой формулы. Имея скорректированное значение волатильности, можно рассчитать корректную стоимость опциона с помощью выбранной модели ценообразования.

5.2. Сигналы на открытие и закрытие позиций

Целью и результатом всех вычислений, заложенных в алгоритм стратегии, является принятие решения об открытии или закрытии позиции по определенному торговому инструменту. Для принятия такого решения необходимо рассчитать значения специальных функционалов, оценивающих привлекательность торговых инструментов. На основе последующей обработки значений функционалов формируются сигналы на открытие и закрытие позиций, которые в дальнейшем трансформируются в торговые заявки.

5.2.1. Принцип генерирования сигналов

В опционной торговле инструментами торговли являются базовые активы и опционы. Однако можно рассматривать в качестве торговых инструментов и опционные комбинации. На сложность торгового инструмента можно вообще не накладывать никаких ограничений. Например, как об отдельном торговом инструменте можно говорить о произвольном наборе торгующихся на рынке более простых инструментов. Построение определенного набора торговых инструментов – это элемент алгоритма стратегии. Обозначим через Ω = (K₁…, K_N) множество, состоящее из N торговых инструментов стратегии.

В каждый момент времени t (на каждом шаге прогонки) у стратегии имеется текущий набор информации I(t). Эта информация разнообразна: история цен торговых инструментов, формализованная фундаментальная информация, значения индикаторов технического анализа, показатели прибыли-убытков текущих позиций, вероятностные сценарии и т. д. Единственное требование к информации I(t) – при ее получении или вычислениях, связанных с ее получением, не должны использоваться данные из будущих моментов времени t + 1, t + 2… Для каждого торгового инструмента алгоритм стратегии вычисляет специальные функционалы Φ(K_j, I(t)), где K_j – j-й торговый инструмент, а I(t) – информация, доступная на шаге t. Интерпретация этих функционалов является элементом алгоритма стратегии.

Например, логические значения false и true могут иметь следующий смысл: Φ(K_j, I(t)) = true означает, что стратегия выработала сигнал совершить определенную сделку с инструментом K_j. Это может быть как сделка