Хопфилд заметил интересное сходство между спиновым стеклом и нейронными сетями. Спин электрона отвечает на поведение своих соседей во многом так же, как нейрон: он переворачивается вверх, если взвешенная сумма соседей превышает пороговое значение, и вниз (или не меняется), если не превышает. Вдохновленный этим фактом, Хопфилд определил тип нейронной сети, которая со временем эволюционирует таким же образом, как спиновое стекло, и постулировал, что состояния минимальной энергии для этой сети — это ее воспоминания. Каждое такое состояние представляет собой «область притяжения» для исходных состояний, которые в нее сходятся, и благодаря этому нейронная сеть способна распознавать паттерны: например, если одно из воспоминаний — черно-белые пиксели, образующие цифру девять, а на изображении — искаженная девятка, сеть сведет ее к «идеальной» цифре и узнает. Внезапно к машинному обучению стало можно применить широкий спектр физических теорий, в эту дисциплину пошел поток статистических физиков, помогая вытащить ее из локального минимума, в котором она застряла.

Однако спиновое стекло — это все еще очень нереалистичная модель мозга. Во-первых, спиновые взаимодействия симметричны, а соединения между нейронами головного мозга — нет. Другой большой проблемой, которую модель Хопфилда игнорировала, было то, что настоящие нейроны действуют по законам статистики: они не детерминистски включаются и выключаются в зависимости от входа, а скорее включаются с большей вероятностью, но не обязательно, при повышении взвешенной суммы входов. В 1985 году исследователи Дэвид Окли, Джеффри Хинтон и Терри Сейновски заменили детерминистские нейроны в сетях Хопфилда вероятностными. Нейронная сеть получила вероятностное распределение по своим состояниям, и состояния высокой энергии стали экспоненциально менее вероятны, чем низкоэнергетические. Вероятность нахождения сети в конкретном состоянии была задана хорошо известным в термодинамике распределением Больцмана, поэтому ученые называли свою сеть машиной Больцмана.

Машина Больцмана состоит из смеси сенсорных и скрытых нейронов (аналогично, например, сетчатке глаза и мозгу) и учится путем попеременного сна и пробуждения, как человек. В разбуженном состоянии сенсорные нейроны срабатывают в соответствии с данными, а скрытые эволюционируют согласно динамике сети и сенсорным входам. Например, если сети показать изображение девятки, нейроны, соответствующие черным пикселям изображения, включатся, другие останутся выключенными, и скрытые нейроны будут произвольно включаться по распределению Больцмана для этих значений пикселей. Во время сна сенсорные и скрытые нейроны свободно блуждают, а перед рассветом нового дня машина сравнивает статистику своих состояний во время сна и во время вчерашней активности и изменяет веса связей так, чтобы согласовать эти состояния. Если в течение дня два нейрона обычно срабатывали вместе, а во сне реже, вес их соединения увеличится. Если наоборот — уменьшится. День за днем предсказанные корреляции между сенсорными нейронами эволюционируют, пока не начнут совпадать с реальными: в этот момент машина Больцмана получает хорошую модель данных, то есть проблема присвоения коэффициентов доверия эффективно решается.

Джефф Хинтон продолжил исследования и в следующие десятилетия перепробовал много вариантов машины Больцмана. Хинтон — психолог, ставший информатиком, и праправнук Джорджа Буля, изобретателя логического исчисления, используемого во всех цифровых компьютерах, — ведущий коннекционист в мире. Он дольше и упорнее других пытался разобраться, как работает мозг. Хинтон рассказывает, что как-то пришел домой с работы и возбужденно крикнул: «Есть! Я понял, как работает мозг!» На что дочь ему ответила: «Папа, опять?!» В последнее время он увлекся глубоким обучением, о котором мы поговорим дальше в этой главе, а также участвовал в разработке метода обратного распространения ошибки — более совершенного, чем машины Больцмана, алгоритма, решающего проблему присвоения кредитов доверия (об этом пойдет речь в следующей главе). Машины Больцмана могут решать эту задачу в принципе, но на практике обучение идет очень медленно и трудно, поэтому такой подход в большинстве случаев нецелесообразен. Для следующего прорыва нужно было отказаться от еще одного чрезмерного упрощения, которое восходит к Маккаллоку и Питтсу. 

Самая важная кривая в мире

По отношению к соседям нейрон может быть только в одном из двух состояний — активным и неактивным. Однако здесь не хватает важного нюанса. Потенциалы действия длятся недолго: напряжение подскакивает всего на долю секунды и немедленно возвращается в состояние покоя. Этот скачок едва регистрируется принимающим нейроном: чтобы разбудить клетку, нужна череда скачков с короткими промежутками. Обычные нейроны периодически возбуждаются и без всякой стимуляции. Когда стимуляция накапливается, нейрон возбуждается все чаще и чаще, а затем достигает насыщения — самой высокой частоты скачков напряжения, на которую он способен, после которой увеличение стимуляции не оказывает эффекта. Нейрон больше напоминает не логический вентиль, а преобразователь напряжения в частоту. Кривая зависимости частоты от напряжения выглядит следующим образом:

Эту похожую на вытянутую букву S кривую называют по-разному: логистической, S-образной, сигмоидой. Присмотритесь к ней повнимательнее, потому что это самая важная кривая в мире. Сначала выход медленно растет вместе с входом: так медленно, что кажется постоянным. Затем он начинает меняться быстрее, потом очень быстро, а после все медленнее и медленнее и наконец вновь становится почти постоянным. Кривая транзистора, которая связывает входящее и выходящее напряжение, тоже S-образна, поэтому и компьютеры, и головной мозг наполнены S-кривыми. Но это еще не все. Форму сигмоиды имеют всевозможные фазовые переходы: вероятность, что электрон сменит спин в зависимости от приложенного поля, намагничивание железа, запись бита памяти на твердый диск, открытие ионного канала в клетке, таяние льда, испарение воды, инфляционное расширение молодой Вселенной, прерывистое равновесие в эволюции, смена научных парадигм, распространение новых технологий, бегство белого населения из смешанных районов, слухи, эпидемии, революции, падения империй и многое другое. Книгу The Tipping Point: How Little Things Can Make a Big Difference[64] можно было бы (хотя и менее заманчиво) назвать «Сигмоида». Землетрясение — это фазовый переход в относительном положении двух прилегающих тектонических плит, а стук, который мы иногда слышим ночью, — просто сдвиг микроскопических «тектонических плит» в стенах дома, так что не пугайтесь. Йозеф Шумпетер[65] говорил, что экономика развивается трещинами и скачками: творческое разрушение тоже имеет S-образную форму. Финансовые приобретения и потери тоже воздействуют на человеческое счастье по сигмоиде, поэтому не стоит излишне надрываться и переживать. Вероятность, что произвольная логическая формула будет выполнимой — самая суть NP-полных проблем, — следует фазовому переходу от почти единицы к почти нулю по мере увеличения длины формулы. Статистические физики могут изучать фазовые переходы всю жизнь.

В романе Хемингуэя «И восходит солнце» Майка Кэмпбелла спрашивают, как он обанкротился, и тот отвечает: «Двумя способами. Сначала постепенно, а потом сразу». То же самое могли бы сказать в банке Lehman Brothers. В этом суть сигмоиды. Одно из правил прогнозирования, сформулированных футуристом Полом Саффо, гласит: ищите S-образные кривые. Если не получается «поймать» комфортную температуру в душе — вода сначала слишком холодная, а потом сразу слишком горячая, — вините S-кривую. Развитие по S-образной кривой хорошо видно, когда готовишь воздушную кукурузу: сначала ничего не происходит, затем лопается несколько зерен, потом сразу много, потом почти все взрываются фейерверком, потом еще немного — и можно есть. Движения мышц тоже следуют сигмоиде: медленно, быстро и опять медленно: мультфильмы стали гораздо естественнее, когда диснеевские мультипликаторы поняли это и начали имитировать. По S-кривой движутся глаза, фиксируясь вместе с сознанием то на одном, то на другом предмете. Согласно фазовому переходу меняется настроение. То же самое с рождением, половым созреванием, влюбленностью, браком, беременностью, поступлением на работу и увольнением, переездом в другой город, повышением по службе, выходом на пенсию и смертью. Вселенная — огромная симфония фазовых переходов, от космических до микроскопических, от самых обыденных до меняющих нашу жизнь.

Сигмоида важна не просто как модель. В математике она трудится не покладая рук. Если приблизить ее центральный отрезок, он будет близок прямой. Многие явления, которые мы считаем линейными, на самом деле представляют собой S-образные кривые, потому что ничто не может расти бесконечно. В силу относительности и вопреки Ньютону ускорение не увеличивается линейно с увеличением силы,