В целом жизнь Римана была непрерывной чередой препятствий и бед, преодолевать которые удавалось с огромным трудом и напряжением и без того небольших сил. За каждым триумфом следовали фиаско и трагедия. Едва фортуна улыбнулась ему и он приступил к учебе у Гаусса, как Германию захлестнула волна революции. Рабочий класс, долго терпевший нечеловеческие условия жизни и труда, восстал против правительства, рабочие городов по всей Германии взялись за оружие. Эти демонстрации и волнения начала 1848 г. стали источником вдохновения для еще одного известного гражданина Германии — Карла Маркса и оказали заметное влияние на развитие революционного движения в Европе в последующие годы.
Когда волнения охватили всю Германию, учеба Римана прервалась. Его зачислили в студенческий отряд, где он удостоился сомнительной чести в течение 16 утомительных часов охранять особу, напуганную гораздо сильнее ее охранников, — короля, который трясся от страха в своем берлинском дворце, пытаясь укрыться от гнева рабочего класса.
За рамками евклидовой геометрии
Революционные бури бушевали не только в Германии, но и в сфере математики. Вопросом, которым заинтересовался Риман, стало неизбежное падение еще одного бастиона, авторитет которого ранее был непререкаем, — евклидовой геометрии, рассматривающей пространство как трехмерное. Более того, это пространство не только трехмерное, но и «плоское» (на плоскости кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая; исключается сама возможность, что пространство может быть изогнутым, как в случае со сферой).
Пожалуй, евклидовы «Начала» можно назвать наиболее влиятельной (после Библии) книгой всех времен. На протяжении двух тысячелетий проницательнейшие умы западной цивилизации восхищались ясностью мысли и красотой геометрических построений. Тысячи прекрасных соборов Европы были воздвигнуты согласно принципам этой книги. Оглядываясь назад, можно отметить, что успех «Начал» был чересчур велик. С течением веков она стала своего рода религией; к каждому, кто осмеливался предложить искривленное пространство или многомерность, относились как к безумцу или еретику. Бесчисленные множества поколений школьников сражались с теоремами евклидовой геометрии: длина окружности в ? раз превосходит ее диаметр, сумма углов треугольника составляет 180°. Но как ни бились веками самые светлые умы математики, им не удавалось найти доказательства обманчиво простых постулатов. В конце концов до европейских математиков начало доходить, что даже евклидовым «Началам», чтимым на протяжении 2300 лет, недостает полноты. Евклидова геометрия по-прежнему приемлема, если речь идет о плоских поверхностях, но в мире изогнутых поверхностей она неверна.
С точки зрения Римана, евклидова геометрия особенно бесплодна, если ее сравнить с поразительным многообразием мира. Нигде в природе мы не встречаем плоских, идеальных геометрических фигур Евклида. Горные цепи, океанские волны, облака, водовороты — отнюдь не правильные круги, треугольники и квадраты, а объекты с криволинейными поверхностями, количество изгибов которых поражает бесконечным разнообразием.
Время для революции наступило. Но кто возглавит ее и что придет на смену прежней геометрии?
Появление римановой геометрии
Риман восставал против мнимой математической точности греческой геометрии, фундамент которой, как он обнаружил, покоится на зыбучих песках интуиции и здравого смысла, а не на твердой почве логики.
Согласно Евклиду, у точки вообще нет измерения. У линии одно измерение — длина. У плоскости — два: длина и ширина. У тела — три: длина, ширина и высота. На этом все и заканчивается. Нет ничего, что имело бы четыре измерения. Эти утверждения эхом повторял философ Аристотель, вероятно, первым в мире категорически заявивший, что четвертое пространственное измерение невозможно. В трактате «О небе» он писал: «Величина, делимая в одном измерении, есть линия, в двух — плоскость, в трех — тело, и, кроме них, нет никакой другой величины, так как три суть все». Более того, в 150 г. н. э. астроном Птолемей из Александрии пошел дальше Аристотеля и в своем труде «О расстояниях» предложил первое оригинальное «доказательство» невозможности четвертого измерения.
Сначала, предлагал он, проведем три взаимно перпендикулярные линии. Например, угол куба представляет собой три линии, перпендикулярные друг другу. Затем попробуем провести четвертую линию, перпендикулярную остальным трем. Как бы мы ни старались, утверждает Птолемей, провести четвертый перпендикуляр невозможно. По мнению Птолемея, четвертую перпендикулярную линию «нельзя измерить и определить». Таким образом, четвертое измерение невозможно.
В действительности же Птолемей доказал невозможность визуализировать четвертое измерение с помощью нашего трехмерного мозга (сегодня нам уже известно немало объектов математики, которые нельзя представить, однако их существование можно доказать). Птолемей мог бы войти в историю как человек, противостоявший двум великим идеям в науке: гелиоцентрической Солнечной системе и четвертому измерению.
За прошедшие с тех пор века появлялось немало математиков, с пеной у рта отвергавших четвертое измерение. В 1685 г. Джон Уоллис (Валлис) высказывался против этой концепции, называя ее «Чудовищем в мире природы, еще менее возможным, чем химера или кентавр… Длина, ширина и высота исчерпывают пространство. Никакому воображению не под силу представить четвертое пространственное измерение помимо этих трех»[11]. В течение нескольких тысяч лет математики повторяли эту роковую ошибку: что четвертое измерение не существует по той причине, что мы не в состоянии вообразить его себе.
Единство всех физических законов
Решительное отступление от евклидовой геометрии произошло, когда Гаусс поручил студенту Риману подготовить доклад об «основах геометрии». Гаусс всерьез заинтересовался вопросом, сумеет ли его ученик разработать альтернативу евклидовой геометрии. (За несколько десятилетий до этого Гаусс сам в личных беседах выражал всяческие сомнения относительно евклидовой геометрии. Он даже упоминал в разговорах с коллегами гипотетических «книжных червей», живущих исключительно в двумерном пространстве. Он говорил, что это распространяется на геометрию многомерного пространства. Но будучи крайне консервативным человеком, Гаусс никогда не публиковал своих работ по многомерности, зная, какой взрыв негодования они вызовут у ограниченной, реакционно настроенной «старой гвардии». Гаусс презрительно окрестил их «беотийцами» — по названию одной из народностей Греции, представителей которой считали умственно недоразвитыми[12].)
Риман был в ужасе. Этого застенчивого, робкого человека, впадающего в панику при мысли о публичных выступлениях, наставник попросил прочитать перед целым факультетом доклад об одной из самых сложных математических проблем столетия.
Следующие несколько месяцев Риман усердно разрабатывал теорию многомерности, напрягая все свои силы и находясь на грани нервного срыва. И без того плачевное положение усугублялось финансовыми проблемами. Чтобы обеспечивать близких, ему приходилось заниматься низкооплачиваемым репетиторством. Кроме того, Риман был вынужден отвлекаться на поиски объяснения физических проблем. Особенно часто он помогал профессору Вильгельму Веберу проводить эксперименты в новой увлекательной сфере — исследованиях электричества.
Конечно, электричество было известно и в древности — в виде искр и молний. Но в начале XIX в. это явление заняло центральное место в исследованиях физиков. В частности, внимание ученых привлекло то, что при прохождении тока по проводу, лежащему поверх компаса, стрелка компаса приводится в движение. И наоборот: движение магнитного стержня относительно провода может вызвать возникновение электрического тока в проводе. (Это явление называется законом Фарадея, на его принципах основаны все современные электрогенераторы и трансформаторы, следовательно, во многом он определяет основы современной техники и технологии.)
11
Джон Валлис (Уоллис), Der Barycentrische Calcul, Leipzig, 1827, p. 184.
12
Хотя Риману обычно приписывают роль движущей творческой силы, в конце концов сокрушившей рамки евклидовой геометрии, по праву человеком, который открыл геометрию высших измерений, должен был стать престарелый наставник Римана, сам Гаусс.
В 1817 г., почти за десять лет до рождения Римана, Гаусс выразил свое глубокое недовольство евклидовой геометрией. В пророческом письме к другу, астроному Генриху Ольберсу, он недвусмысленно заявил, что евклидова геометрия математически несовершенна.
В 1869 г. математик Джеймс Дж. Сильвестр писал, что Гаусс всерьез обдумывал возможность существования многомерных пространств. Гаусс представлял себе свойства существ, названных им «книжными червями», способных жить на двумерных листах бумаги. Затем он распространил свои выводы на «существ, способных представить себе пространство с четырьмя и более измерениями» (процитировано в: Линда Далримпл Хендерсон «Четыре измерения и неевклидова геометрия в современном искусстве» (Linda Dalrymple Henderson, The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art, Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1983), c. 19).
Но если Гаусс сформулировал теорию многомерности, на 40 лет опередив всех, тогда почему же он упустил поистине историческую возможность избавиться от уз трехмерной евклидовой геометрии? Историки отмечают присущую Гауссу консервативность в работе, общественной и личной жизни. Он никогда не покидал пределов Германии и почти всю жизнь провел в одном городе. Это обстоятельство отразилось на его профессиональной деятельности.
В примечательном письме, написанном в 1829 г., Гаусс признавался своему другу Фридриху Бесселю, что никогда не опубликует свою работу, посвященную неевклидовой геометрии, из опасения, что она вызовет споры в кругах «беотийцев». Математик Морис Клайн писал: «Он [Гаусс] заявлял в письме к Бесселю от 27 января 1829 г., что, вероятно, никогда не опубликует результаты своих исследований этого предмета, поскольку опасается насмешек или, как выразился сам Гаусс, боится навлечь недовольство „беотийцев“, образно названных в память о недалеком греческом народе» («Математика и физический мир» (Mathematics and the Physical World, New York: Crowell, 1959, p. 449)). Гаусс так робел перед старой гвардией, узколобыми «беотийцами», свято верившими в три измерения, что предпочел сохранить в тайне лучший из своих трудов.
В 1869 г. Сильвестр в интервью с биографом Гаусса Сарториусом фон Вальтерсхаузеном писал: «Этот великий человек говорил, что отложил в сторону несколько вопросов, которые анализировал, и надеялся применить к ним геометрические методы, когда его представления о пространстве станут полнее; ибо если мы можем вообразить себе существа (подобные бесконечно плоским „книжным червям“ на бесконечно тонком листе бумаги), которым известно лишь двумерное пространство, нам под силу представить себе и существа, способные оперировать четырьмя и более измерениями» (процитировано в: Хендерсон «Четыре измерения и неевклидова геометрия в современном искусстве», с. 19).
Гаусс писал Ольберсу: «Я все больше убеждаюсь, что (физическую) неизбежность нашей (евклидовой) геометрии невозможно доказать, по крайней мере средствами человеческого разума и доступно для понимания человеческим разумом. Возможно, в другой жизни мы сумеем получить представление о природе пространства, которое сейчас остается для нас недосягаемым. А до тех пор нам следует ставить геометрию в один ряд не с арифметикой, как это делается априори, а с механикой» (процитировано в: Морис Клайн «Математическая мысль от древности до наших дней» (Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press, 1972), c. 872).
Гаусс относился к евклидовой геометрии с таким подозрением, что даже провел оригинальный эксперимент, чтобы проверить ее. Вместе с помощниками он поднялся на три горных вершины — Брокен, Хохехаген и Инзельсберг. С каждой из них были отчетливо видны две другие вершины. Построив между вершинами треугольник, Гаусс смог экспериментальным путем измерить его внутренние углы. Если евклидова геометрия верна, тогда сумма этих углов должна составлять 180°. К своему разочарованию, Гаусс обнаружил, что сумма углов действительно равна 180° (плюс-минус 15 минут). Примитивность измерительного оборудования не дала ему убедительно доказать, что Евклид заблуждался. (Сегодня нам известно, что этот эксперимент следовало проводить между тремя разными звездными системами, чтобы выявить значимые отклонения от евклидова результата.)
Следует также указать, что математики Николай Иванович Лобачевский и Янош Бойяи независимо друг от друга открыли неевклидову математику для изогнутых поверхностей. Но их построения ограничивались обычными низшими измерениями.
