Пуанкаре пошёл дальше и показал условность природы других научных концепций, таких как пространство и время, отметив, что нет такого способа измерения этих величин, который был бы вернее других, что общепринятый способ лишь более удобен.

Наши понятия пространства и времени также представляют собой определения, выбранные на основе их удобности при обращении с фактами.

Однако такое радикальное понимание самых основных научных понятий ещё не исчерпано. Тайну того, что же такое пространство и время, можно лучше понять при таком объяснении, но тогда вся тяжесть сохранения порядка во вселенной возлагается на “факты”. А что такое факты?

К изучению этого Пуанкаре подошёл критически. Он спрашивал, какие факты вы собираетесь наблюдать? Число их безгранично. Шансов на то, что невыборочное наблюдение фактов приведёт к науке, не больше, чем у обезьяны, сидящей у пишущей машинки, и пытающейся набрать молитву господню.

То же справедливо и в отношении гипотез. Какие гипотезы? Пуанкаре писал: “Если явление допускает полное механическое объяснение, то оно допускает и бесконечное число других, которые так же хорошо объяснят все особенности, выявленные в ходе эксперимента.” Таковым же было и утверждение, сделанное Федром в лаборатории, оно подняло вопрос, из-за которого ему пришлось уйти из школы.

Если бы у учёного было в распоряжении неограниченное время, говорил Пуанкаре, то тогда ему нужно было бы сказать: “Смотри и замечай как следует”, но поскольку увидеть всё нет времени, и лучше не видеть чего-либо, чем увидеть неправильно, то он вынужден делать выбор.

Пуанкаре изложил несколько правил: существует иерархия фактов.

Чем более общим является факт, тем он более ценен. Те, которые служат много раз, лучше тех, у которых мало шансов возникнуть снова. Например, биологи оказались бы в очень затруднительном положении при построении науки, имея дело только с индивидуумами, а не с видами, если бы наследственность не делала детей подобными родителям.

Какие факты вероятнее всего появятся вновь? Простые факты. Как распознать их? Выбирайте те, которые кажутся простыми. Либо эта простота действительна, либо сложные элементы неразличимы. В первом случае мы можем снова столкнуться с этим фактом либо отдельно, либо в качестве элемента более сложного факта. Имеется также неплохая вероятность повторения и второго случая, ибо природа строит такие вещи не случайно.

Где же тот простой факт? Учёные искали его в двух крайних сферах, в бесконечно громадной, и в бесконечно малой. Биологи, например, инстинктивно рассматривали клетку, как нечто более интересное, чем всё животное, а со времени Пуанкаре, протеиновая молекула представляет больший интерес, чем клетка. И результат показал мудрость такого подхода, ибо клетки и молекулы, принадлежащие различным организмам, оказались более схожими по сравнению с самими организмами.

Как же тогда выбрать интересный факт, тот, который возникает вновь и вновь? Метод как раз и состоит в том, чтобы отбирать факты, необходимость тогда заключается в создании такого метода, и их изобрели множество, ибо ни один из них не навязывается сам. Тогда будет правильно начинать с обычных фактов, но когда правило установлено вне всяких сомнений, факты, соответствующие ему, становятся скучными, ибо они не учат нас ничему новому. И тогда важность приобретает исключение. И мы уже ищем не сходства, а различия, выбираем наиболее ярко выраженные различия, ибо они наиболее интересны и наиболее поучительны.

Прежде всего мы отыскиваем такие случаи, где правило может вероятнее всего не сработать, удаляясь очень далеко во времени или в пространстве, можно выяснить, что наши правила становятся полностью противоположными, и такие противоположности дают нам возможность лучше видеть те малые изменения, которые могут происходить ближе к нам. А нацеливаться следует не столько на удостоверение сходства и различий, сколько на сходство, скрытое под кажущимися расхождениями. Вначале правила Пуанкаре кажутся противоречивыми, но при более тщательном рассмотрении они в общем-то походят друг на друга. Разные по существу, они похожи по форме и по порядку их составляющих. Если их рассматривать под таким углом зрения, то они расширяются и имеют тенденцию охватывать всё. И именно в этом состоит ценность определенных фактов, которые дополняют целое и доказывают, что оно представляет собой верное отображение других известных целых.

Пуанкаре пришёл к выводу, что учёный не выбирает произвольно те факты, которые наблюдает. Он стремится отобрать как можно больше опыта и мыслей в наименьшем количестве фактов, вот почему в небольшом учебнике по физике содержится так много прошлого опыта и в тысячу раз больше возможных новых опытов, результат которых известен заранее.

Затем Пуанкаре показал, как открывают факт. Раньше он в общем рассказывал, как учёные находят факты и создают теории, а теперь он обратился в частности к своему собственному личному опыту с математическими функциями, которые принесли ему славу ещё в молодости.

Он писал, что в течение пятнадцати дней пытался доказать, что таких функций быть не может. Каждый день он усаживался за рабочий стол, работал час или два, испробовал огромное число комбинаций, но не добился никаких результатов.

Однажды вечером, вопреки своим привычкам, он напился черного кофе и не мог уснуть. Идеи завитали тучами. Он чувствовал, как они сталкиваются и образуются пары, создавая, так сказать, стабильные комбинации.

На следующее утро ему только оставалось записать результаты. Прошла волна кристаллизации.

Он дал описание того, как вторая волна кристаллизации, вызванная аналогиями стандартной математики, привела его к тому, что впоследствии он назвал “Тэта-Фуксианскими сериями”. Он отправился из Каэна, где тогда жил, в геологическую экспедицию. Во время путешествия он совсем забыл про математику. Он собирался войти в автобус, и в тот миг, когда поставил ногу на ступеньку, его осенила идея, когда он вроде бы ни о чём таком и не думал. Идея о том, что преобразования, которыми он пользовался для определения фуксианских функций, идентичны тем, которые есть в неевклидовой геометрии. Он не стал выверять эту мысль, пишет он, а просто продолжил разговор с кем-то в автобусе, но всё же он был в полной уверенности. Затем на досуге он проверил результат.

Ещё одно открытие он сделал, гуляя по утёсу над морем. Оно пришло к нему с такими же характерными признаками краткости, внезапности и немедленной уверенности. Другое открытие он сделал, когда гулял на улице. Некоторые прославляли этот процесс как таинственные деяния гения, но Пуанкаре не удовлетворился таким мелким объяснением. Он попробовал исследовать глубже то, что произошло.

Математика, говорил он, не просто применение каких-либо правил или науки. Она не просто создаёт максимально возможное число комбинаций по определённым установленным законам. Полученные таким образом комбинации будут слишком многочисленны, бесполезны и неуклюжи. Подлинная работа изобретателя состоит в выборе этих комбинаций таким образом, чтобы исключить бесполезные, или в том, чтобы не создавать их, а правила, которыми при этом надо руководствоваться, исключительно тонки и деликатны. Их почти невозможно изложить с достоверностью, их пожалуй, следует больше чувствовать, чем формулировать.

Затем Пуанкаре выдвинул гипотезу, что этот раздел состоит из того, что он называет “возвышенным эго”, образованием, точно соответствующем тому, что Федр считал доинтеллектуальным осознанием. Возвышенное эго, писал Пуанкаре, рассматривает большое количество решений проблемы, но в область сознания пробиваются только интересные. Математические решения выбираются возвышенным эго на основе “математической красоты”, гармонии чисел и форм, геометрической элегантности. “Это — подлинное эстетическое чувство, известное всем математикам”, - гласит Пуанкаре, — “а профаны настолько невежественны, что у них оно часто вызывает улыбку”. А ведь в основе всего лежит именно эта гармония, эта красота.