двух методов — запечатление лиц и запоминание голосов, — по мнению ученых, позволяет с очень высокой степенью достоверности установить, встречался ли новый собеседник владельцу до этого. Если да, то компьютер, восстановив и проанализировав прошлый разговор, быстро и, скорее всего, фрагментарно прокрутит его владельцу, что даст возможность «преодолеть возрастные и прочие границы способности к запоминанию и воскресит в памяти подробности, полезные для данного разговора».

Хотя с того момента, как ученые из университета Карнеги-Меллон опубликовали свой доклад, прошло немного лет, компьютерные технологии за это время существенно эволюционировали: физические размеры накопителей информации уменьшились, появились новые программы для распознавания внешности и голоса. И недалек тот день, когда (при желании) все проделанное нами за день сможет быть зафиксировано в виде изображения и звука и оставлено храниться на любой срок.

Разумеется, этот подход таит в себе некоторую опасность. Каждый, кто хоть раз терял ноутбук, мобильник или ежедневник, успел убедиться: чем больше данных о своей жизни мы держим в искусственных, внешних накопителях информации, тем меньше мы можем полагаться на собственную память.

Платон писал о подобной опасности задолго до изобретения компьютеров. В диалоге «Федр» один из его героев — Сократ — приводит слова египетского царя Тамуса, который высказывает опасения, связанные с появлением письменности: «В души научившихся им [письменам] они вселят забывчивость, так как будет лишена упражнения память: припоминать станут извне, доверяясь письму, по посторонним знакам, а не изнутри, сами собою»[21].

Математики ничего не принимают на веру без доказательств. Прежде чем прийти в ходе сложных построений к тому или иному умозаключению, нужно убедиться, что каждый этап пути, начиная с самой вроде бы очевидной отправной точки, строго и тщательно обоснован. В случае с хитрым вопросом, дает ли 1 + 1 в сумме 2, нужно для начала разобраться, что такое 1, потом перейти к рассмотрению, что такое 2, и, наконец, установить, что сумма 1 и 1 идентична тому, что вы понимаете под числом 2.

Поводом к этим рассуждениям послужил важный и внушительный трехтомный труд Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела «Principia Mathematica» (1910–1913)[22], в котором на доказательство того, что один плюс один равно двум, отведено не менее половины страницы. («Полстраницы» — это еще очень консервативная оценка, один математик писал: «Книга Уайтхеда и Рассела “Principia Mathematica” известна тем, что на протяжении тысячи страниц доказывает, что 1 + 1 = 2».)

Рассел, которому часто возражали, что, мол, в доказательстве элементарных арифметических равенств нет никакой нужды, писал: «“Ничто не заставит меня усомниться, что 2 и 2 в сумме дают 4”, — скажете вы. И будете правы практически всегда, за исключением крайних случаев — ведь только в крайнем случае вы сомневаетесь, что вот это конкретное животное — собака, а вот эта конкретная длина — менее метра. Два — это не просто цифра, а количество, и заявление “2 и 2 будет 4” лишено смысла, если не применяется на практике. Две собаки и еще две собаки — всего несомненно четыре собаки, но бывает так, что вы не уверены, собаки ли две из них. “Ну, это в любом случае четыре животных”, — можете сказать вы. Однако существуют микроорганизмы, о которых нельзя с определенностью сказать, принадлежат ли они к царству животных или растений. “Ладно, четыре живых существа”, — скажете вы. Но опять же, иногда не так-то просто разобраться, идет ли речь о живых или неживых организмах. В итоге вы будете вынуждены сказать: “Две сущности и еще две сущности — всего четыре сущности”. Тогда растолкуйте мне, что вы подразумеваете под “сущностью”, и мы закончим этот спор».

Доказывая, что 1 + 1 = 2, основное место в своих рассуждениях Рассел и Уайтхед отводят попыткам дать определение понятию «сущность».

(Да и это доказательство применимо, только если «ввести определение, что такое арифметическое действие сложения», а это уже отдельный разговор.)

Один математик попытался переформулировать то, что пытались доказать Рассел и Уайтхед, воспользовавшись не символами, а словами: «Множества аир, каждое из которых состоит всего из одного элемента, считаются непересекающимися (то есть не имеющими общих элементов), если и только если их объединение дает ровно два элемента».

В таком виде доказательство выглядит несколько более доступным, хотя требует некоторых дополнений. Теория множеств как особый раздел математики возникла в конце XIX столетия. Эта теория базируется на понятии «множества» как совокупности предметов, рассматривает правила объединения предметов в множества и анализирует отношения между множествами. Например, выражение *11·54 (см. выше на рисунке) относится к высказыванию, помещенному в другом месте книги и гласящему: «Можно взять утверждение о том, что существуют две вещи, и разделить его на два утверждения — каждое о существовании одной из вещей». Простые числа и то, как мы ими оперируем в быту, — всего лишь слабая тень величественного здания математики, возведенного математиками-философами наподобие Рассела и Уайтхеда.

Однако чтобы понять, почему в математике важна точность, особых знаний не требуется. Иногда привычный нам способ смотреть на вещи может завести в тупик (даже на уровне школьного курса математики). Вот вам, к примеру, доказательство, что 3 = 4.

Допустим:

а + b = с

Это выражение также можно записать следующим способом:

4а ? 3а + 4b ? 3b = 4с ? Зс

(Потому что 4а ? 3а — это просто «а», 4b ? 3b — просто «b», и так далее.)

Преобразуем получившееся равенство:

4а + 4b ? 4с = 3а + 3b ? Зс

(Переносить элементы из одной части равенства в другую разрешается, если при этом вы не забываете сменить знак на противоположный, то есть с минуса на плюс и наоборот. Так, например, 4х ? 3 = 0 можно иначе выразить как 4х = 3, переместив -3 в другую часть равенства и сменив знак на плюс. Это то же самое, что добавить одно и то же число, +3, к обеим частям равенства. Если добавить к обеим частям равенства одинаковое число, равенство сохраняется.)

Теперь преобразуем пример следующим образом, то есть вынесем общий множитель за скобки:

4 (а + b ? с) = 3 (а + b ? с)

Разделим обе части на (а + b ? с) и придем к выводу, что 4 = 3.

В основе этого ложного умозаключения лежит ошибка, которую может совершить каждый, кто не очень чуток к законам арифметики. Столкнувшись с подобной головоломкой, многие из нас предпочитают руководствоваться здравым смыслом, а не блестящими образцами доказательств, порожденных научной мыслью. Мы уподобляемся госпоже Ла Туш, даме, жившей в Викторианскую эпоху и известной лишь тем, что однажды она изрекла: «Ненавижу сложение. Нет большего заблуждения, чем называть арифметику точной наукой. Сплошные пермутации и аберрации, различимые лишь для таких благородных умов, как мой; неприметные вариации, которых простой бухгалтер и не увидит; скрытые законы чисел, которые требуют недюжинных умственных способностей, вроде моих. К примеру, если вы сложите слагаемые, расположенные столбиком, снизу вверх, а потом сверху вниз, — результат всегда получится разный»[23].

А все началось с обеда…

Математика имеет каверзное свойство очень быстро все усложнять и запутывать. Казалось бы, начали вы разбирать простую и всем понятную задачку, и вот — оглянуться не успели, как все вышло из- под контроля, а у вас от напряжения мозг свело.

Рассмотрим одну из таких задачек. На обеде, куда приглашены шестеро гостей, либо трое из них уже знакомы друг с другом, либо трое совершенно друг друга не знают. Докажите это.

Ситуация вполне правдоподобная, но, сколько ни думай, доказательство все время ускользает. В