'Многомерные пространства'

Начав работу над шестью геометрическими курсами для пединститутов, я решил написать серию учебников по всем этим курсам. Эти учебники я договорился писать вместе с И.М.Ягломом и З.А.Скопецом. Первой из этих книг была 'Аналитическая геометрия', написанная мной и И.М.Ягломом. Мы включили в эту книгу много новинок : применение линейных операторов при изложении аффинных преобразований и движений и теории линий и поверхностей второго порядка. Мы рассматривали также уравнения тел и плоских фигур, например, квадрата и куба. Рецензент книги А.П.Норден дал отрицательный отзыв: по его мнению книга перегружена новшествами и такой курс невозможно прочитать за то время, которое отводится на него в пединститутах. Он советовал убрать новшества. Я на это не согласился: без наших новшеств книга превратится в обычный учебник по аналитической геометрии.

Я избрал другой путь: решил выбросить из книги обычную аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве, оставить применение линейных операторов, и излагать геометрию в n-мерном пространстве. К многомерной аналитической геометрии я решил добавить многомерное обобщение теории многогранников, изучаемой в курсе элементарной геометрии, многомерное обобщение теории скользящих векторов, изучаемых в статике, многомерную проективную, конформную и дифференциальную геометрию, а также многомерную псевдоевклидову геометрию, являющуюся обобщением теории пространства - времени специальной теории относительности и многомерную псевдоконформную геометрию, тесно связанную с псевдоевклидовой геометрией.

Написанную книгу я назвал 'Многомерные пространства'. Она состоит из 12 глав: 1) Векторы и аффинные операции над ними, 2) Метрические операции над векторами, 3) Прямые и плоскости, 4) Движения и аффинные преобразования, 5) Многогранники, 6) Сферы, 7) Квадрики, 8) Скользящие векторы, 9) Проективные преобразования, 10) Дифференцирование векторов, 11) Комформные преобразования, 12) Пространство и время.

А.П.Норден дал положительный отзыв. Книга вышла в издательстве 'Наука' в 1966 году.

Особые группы Ли классов Е и Е

Во время работы в Коломне я продолжал размышлять о геометрических интерпретациях особых простых групп Ли. В 1956 г. Я опубликовал в 'Докладах Академии наук СССР' заметку, в которой высказал предположение, что компактные особые простые гуппы Ли классо Е и Е являются группами движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр октонионов и кватернионов и двух алгебр октонионов. Это предположение, являющееся обобщением геометрической интерпретации компактной особой простой группы Ли класса Е, которую я доказал в 1954 г., было основано на установленном Э.Картаном факте, что среди симметрических пространств, группами движений которых являются компактные простые особые группы Ли классов Е и Е, имеются пространства размерности 64 и 128.

Моя заметка была представлена в Доклады Академии наук СССР'. академиком И.Г.Петровским на основании положительного отзыва Е.Б.Дынкина.

Мое предположение было доказано Э.Б.Винбергом в 1964 г. в докладе 'Конструкция особых простых алгебр Ли' на Семинаре по векторному и тензорному анализу при МГУ.

Более подробное изложение результатов моих заметок 1954 и 1956 гг. я опубликовал в статье 'Простые группы Ли и неевклидовы геометрии' в 'Ученых записках Коломенского педагогического института'. Заметку в 'Докладах' и статью в 'Ученых записках' я послал в Утрехт Гансу Фрейденталю, которому я в 1955 г. прислал мою книгу 'Неевклидовы геометрии' и с которым после этого переписывался по- русски.

В 1959 г. Фрейденталь организовал в Утрехте Международный коллоквиум 'Алгебраические и топологические основания геометрии' и пригласил меня на этот коллоквиум. Приехать я не смог, и просил Фрейденталя перевести мою статью с некоторыми добавлениями на немецкий язык.

На коллоквиуме Фрейденталь выступил с докладом 'О теории Розенфельдовских эллиптических плоскостей'. Этот доклад и немецкий перевод моей статьи были опубликованы в 1962 г. в материалах коллоквиума.

Фрейденталь включил свой доклад о моих эллиптических плоскостях в составленный им сборник наиболее важных статей о расширении понятия пространства, озаглавленный 'Теория пространства '. Сборник был опубликован в 1978 г.

Фрейденталь предложил несколько интересных геометрических интерпретаций особых простых групп Ли, некоторые из которых он объединил в 'магический квадрат Фрейденталя'.

Впоследствии я рассмотрел геометрические интерпретации всех некомпактных особых простых групп Ли, аналогичные моим интерпретациям компактных особых простых групп Ли.

В 50-х годах я еще не умел записывать в явном виде движения эрмитовых неевклидовых плоскостей, группы которых являются особыми простыми группами Ли, я научился делать это значительно позже.

В докладе, представленном на Утрехтский коллоквиум, я рассматривал также геометрические образы пространств с простыми фундаментальными группами и параболическими стационарными подгруппами. Эти образы играют важную роль в теории унитарных представлений некомпактных простых групп Ли и во многих других случаях. Первоначально я называл их 'образами простоты и полупростоты' и в 1963 г. посвятил им статью в 'Трудах семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ'. В настоящее время многообразия этих образов называются 'параболическими пространствами' и 'флаговыми многообразиями'.

Статьи и книги по истории математики

Работая в Коломне, я продолжал изучать труды математиков средневекового Востока. Я уже упоминал вышедшие в это время сборники моих переводов трактатов Хайяма и ал-Каши с их арабскими и персидскими текстами.

В нескольких выпусках ИМИ я опубликовал русские переводы доказательств V постулата Евклида в трактатах Ибн ал-Хайсама и Леви бен Гершона, Насир ад-Дина ат-Туси, ал-Абхари и Сабита ибн-Корры, а также трактата Улугбека о вычислении синуса одного градуса.

В это же время я начал перевод фундаментального труда ал-Бируни 'Канон Мас'уда по астрономии и звездам' и опубликовал переводы имеющихся там звездного каталога и раздела о квадратичном интерполировании. Я опубликовал также несколько более мелких сочинений ал-Бируни. В 1959 г. я редактировал книгу Э. Кольмана 'История математики в древности' и книгу А.П.Юшкевича 'История математики в средние века'.В том же году мы с А.П.Юшкевичем подписали с Учпедгизом договор на книгу 'История математики для педагогических институтов'. Мы обсудили план этой книги и я написал ее проект. Однако в это время Юшкевич был очень занят и не смог заняться этой книгой, и ее не удалось закончить. Подготовленный мной материал я впоследствии использовал в других своих публикациях.

Математические съезды

В 1956 и в 1961 гг. в Москве и Ленинграде состоялись III и IV съезды метематиков СССР. На Московском съезде я сделал доклад об истории интерпретаций пространства Лобачевского. На этом съезде я познакомился с немецким геометром Вильгельмом Бляшке (1885-1962) и итальянским геометром Бениамино Сегре (1903-1977).

После конгресса Бляшке и Сегре прислали мне свои книги и статьи.

Я познакомился также с китайским математиком Хуа Логэном (1910­1985), доклад которого в Московском Математуческом обществе я слушал в 1950 г. Теперь Хуа Логэн был директором Института математики Академии наук Китайской Народной Республики. Мы обсудили его статьи о геометрии прямоугольных матриц и договорились написать совместную статью о применении геометрии прямоугольных матриц к вещественным проективной и неевклидовой геометриям. Эта статья была написана и опубликована по-русски в Казани и в Пекине в 1957 г., и по-китайски в Пекине в 1958 г. После этих публикаций мы в течение многих лет переписывались с Хуа Логэном. Он прислал мне свою книгу 'Геометрия классических групп'.

На Ленинградском съезде на секции истории математики я выступил с докладом 'Об исследованиях по истории математики средних веков', написанным мной совместно с В.П.Зубовым и А.П.Юшкевичем.

На секции геометрии я сделал доклад о вырожденных неевклидовых геометриях. После этого доклада специалист по начертательной геометрии И.И.Котов сказал мне: 'Ваши новые геометрии значительно расширили поле наших исследований '.