Фактически наука и движется от парадокса к парадоксу. Это вехи, которыми обозначены ее взлеты. Но и падения тоже, поскольку выявление парадокса воспринимается вначале как наступление катастрофы, как развал искусно построенного здания.

Обратимся в связи с этим к самой строгой науке — математике. Казалось, здесь-то не должно возникать ничего похожего. Не случайно говорят: вероятно, величайший парадокс состоит в том, что в математике имеются парадоксы. Они не только есть, но и представляются наиболее впечатляющими, а вместе с тем особенно сложными и трудными для понимания.

За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов. Одновременно с этим их преодоление достигалось ценой введения необычных понятий, утверждением невероятных идей. Одним словом, парадоксы разрешались благодаря тому лишь, что они порождали новые, также парадоксальные теории.

Первый кризис разразился еще в древности и был вызван открытием факта несоизмеримости величин. Что это означает?

Две однородные величины, выражающие длины или площади, являются соизмеримыми, если они обладают так называемой общей мерой. То есть если имеется такая однородная с ними величина, которая укладывается в каждой из них целое число раз. Полагали, что все длины и площади созмеримы. Вообще над этим как-то не задумывались. И вот обнаружили странное…

Оказывается, диагональ квадрата и его сторона не имеют общей меры, и их отношения нельзя выразить с помощью известных к тому времени рациональных, то есть целых или дробных чисел. Это и вызвало кризис античной математики. Парадокс состоял в том, что по отдельности каждая из несоизмеримых величин — и диагональ и сторона квадрата — может быть измерена и количественно точно определена. Однако выразить их длины через отношения друг к другу посредством имевшихся тогда чисел не удавалось.

Поясним это с помощью такой операции. Возьмем сторону квадрата и станем откладывать ее на диагонали. Мы обнаружим, что сторона не укладывается на ней целое число раз. Обязательно будет остаток. Но ведь можно попытаться уложить остаток, если он уместится целое число раз, общая мера найдена. Увы! И остаток не умещается в целое число действий. Снова получается остаток, который ведет себя точно так же, как его более крупные предшественники, и т. д.

Это не поддающееся измерению отношение диагонали и стороны квадрата было представлено выражением V2 (корень квадратный). Оно имеет следующее происхождение.

Если квадрат разрезать по диагонали, получим два прямоугольных равнобедренных треугольника, где линия бывшей диагонали будет гипотенузой, а стороны квадрата — катетами. Согласно знаменитой теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, точнее, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Отсюда и величина отношения гипотенузы к катету (или диагонали к стороне квадрата), равная V2 (корень квадратный).

Позднее нашли, что также несоизмеримы отношения длины окружности к диаметру (оно выражается числом я), площади круга и квадрата, построенного на радиусе, и другие величины.

Кризис был преодолен введением новых чисел, которые не являются ни целыми, ни дробными. Они могут быть представлены в виде бесконечных непериодических дробей. К примеру, корень из 2 равен 1,41.., п = 3,14… и т. д. Людям, знавшим только рациональные числа, вновь введенные казались несуразными, противоестественными. Это отразилось и в их названии: «иррациональные», что значит «бессмысленные», лежащие по ту сторону разумного.

Дело в том, что если целые числа и дроби имели ясное физическое толкование, то для иррациональных чисел ею не находилось. Был только один способ придать им реальный смысл: сопоставить с ними длины определенных отрезков. Греки так и поступили. Они отказались от понимания иррациональных чисел в качестве именно чисел, а истолковали их как длины, то есть перевели на язык геометрии.

Здесь важно подчеркнуть, что введение новых чисел оказало сильнейшее влияние на последующее развитие математики.

Очередная катастрофа произошла несколько веков спустя и особенно терзала математику в XVII- XVIII столетиях. В этот раз дело касалось истолкования бесконечно малых величин. Мы видели, что бесконечность участвовала и в первом кризисе. Там она отразилась в способе представления иррациональных чисел. Она будет участвовать и в третьем кризисе. И вообще, полагают некоторые, если резюмировать сущность математики в немногих словах, то можно сказать, что она — наука о бесконечном. Так, крупнейший немецкий ученый XX века Д. Гильберт, имея в виду математику, писал:

«Ни одна проблема не волновала гак глубоко человеческую душу, как проблема бесконечного, ни одна идея не оказала сголь сильного и плодотворного влияния на разум, как идея бесконечного». Но вместе с тем, заключает он, «ни одно понятие не нуждается так в выяснении, как понятие бесконечного». Однако вернемся к кризисам.

Бесконечно малые — это переменные величины, стремящиеся к тлю, точнее, как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю. Кризис возник в силу расплывчатою понимания бесконечно малого.

В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же — принималось как значение, отличное от нуля, о чем говорит и само название. Причина столь противоречивого подхода к бесконечно матым объясняется гем, что их рассматривали в качестве постоянных величин. В силу этого бесконечное понималось как нечто завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами.

Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, окончательно построенной в начале XIX века известным французским математиком О. Коши. Это парадоксальное состояние (полагать бесконечно малые нулями и в то же время неравными нулю) О. Коши разрешает введением качественно новых, неслыханных ранее величин. Он берет их из области возможного, а не действительного. Бесконечно малые — это величины, которые существуют лишь как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. То есть они всегда остаются в возможности, в потенции, так что не реализуется ни одна из указанных альтернатив. Величины не застывают в каких-либо одних конкретных значениях. Они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.

Интересные величины!

Последний кризис (последний по времени, но, надо полагать, не по счету) имел место на рубеже XIX-XX веков и был столь мощным, что затронул не только саму математику, но и логику, поскольку эти науки тесно связаны и язык, поскольку дело касалось способов точного выражения содержания наших мыслен.

К концу XIX века в качестве фундамента всего здания классической математики прочно утвердилась теория множеств, развитая выдающимся немецким ученым Г.Кантором. Понятие «множество» или «класс», «совокупность» — простейшее в математике. Оно не определяется, а поясняется примерами. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой и т. д Далее вводится понятие «принадлежать», то есть «быть элементом множества». Так, книги, точки являются элементами соответствующих множеств. Для определения множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы.

С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность. Теперь ее грандиозное здание напоминало несокрушимую крепость. Оно было прочно заложено и обосновано во всех своих частях. Недаром же крупнейший французский математик того времени А. Пуанкаре в послании очередному математическому конгрессу торжественно заявлял, что отныне все может быть выражено с помощью «целых чисел и конечных и бесконечных систем целых чисел, связанных сетью равенств и неравенств».