линейки, которыми молчаливо ограничивалась геометрия Эвклида, поскольку эти средства просто не пригодны для решения данной задачи — обстоятельство, о котором греки сильно подозревали, но не могли доказать из-за отсутствия необходимого подхода, лежащего в сфере алгебры, а не геометрии. Впрочем, методы Хайяма выходят за рамки циркуля и линейки не слишком сильно. Он использовал специальные кривые, называемые «коническими сечениями» — по той причине, что их можно построить, пересекая конус плоскостью.
Народная мудрость, касающаяся правил написания научно-популярной литературы, гласит: каждая формула уменьшает продажи книги вдвое. Если так, то это очень плохая новость, потому что понять основные мотивы в данной книге никак не получится, не взглянув на несколько уравнений. Следующая глава, например, посвящена открытиям, сделанным математиками эпохи Возрождения, — открытиям формул для решения любого кубического уравнения или уравнения четвертой степени. Я могу обойтись без формулы для решения уравнений четвертой степени, но вот взглянуть на формулу для кубического уравнения нам так или иначе придется. В противном случае мы вынуждены будем ограничиться словами типа «умножаем некоторые числа на некоторые другие числа и к этому прибавляем некоторые третьи числа, а потом извлекаем квадратный корень, затем прибавляем другое число и из того, что получилось, извлекаем кубический корень; далее делаем то же самое снова, но со слегка другими числами; в конце концов складываем два результата. А, забыл! — иногда еще надо будет делить».
Некоторые авторы бросили вызов этой народной мудрости и даже написали книги
Основное соглашение, которое я предлагаю заключить, тенденциозно перекошено в пользу читателя: ключевым словом будет «показать». Я хочу, чтобы вы
На самом деле после знакомства с ними уравнения оказываются довольно дружелюбными созданиями — ясными, четкими, иногда даже прекрасными. Тайная истина об уравнениях состоит в том, что они представляют собой простой, ясный язык для описания целого ряда «рецептов» по вычислению разных вещей. Когда я буду в состоянии выразить такой рецепт словами или просто дать вам общее представление о том, что происходит, не вдаваясь в несущественные детали, я так и буду делать. В редких случаях, тем не менее, использование слов становится столь громоздким, что нам придется прибегнуть к символам и специальным обозначениям.
В этой книге имеются три важных типа обозначений, и два из них я упомяну прямо сейчас. Одно — это наш дружище
Обозначения второго типа — это числа, набранные более мелким шрифтом и слегка приподнятые над строкой — такие как 2, 3 или же 4. Они говорят, что некоторое другое число надо умножить само на себя указанное число раз. Так, 53 означает 5?5?5, что равно 125, а
Не имею ни малейшего понятия почему. Просто надо же их как-то называть.
Или вавилонский метод решения квадратных уравнений достался древним грекам по наследству, или же они его открыли заново. Герон, живший в Александрии где-то между 100 годом до и 100 годом от Р.Х., обсуждал типичные задачи «вавилонского» стиля, используя греческую терминологию. Около 100 года Никомах — вероятно, аравитянин из Иудеи — написал книгу под названием
Символьные обозначения вошли в алгебру в работах греческого математика Диофанта примерно около 500 года[9]. Единственное, что мы знаем о Диофанте, — это возраст, в котором он умер, да и эти сведения дошли до нас способом, вызывающим сомнения в аутентичности. Греческий сборник задач по алгебре содержит одну следующего содержания: «Диофант провел шестую часть своей жизни мальчиком. Борода его стала расти спустя еще одну двенадцатую часть. Он женился одну седьмую спустя, а его сын родился через пять лет. Сын дожил до половины возраста своего отца, а отец умер через четыре года после сына. Сколько лет было Диофанту, когда он умер?»
Используя методы, подразумевавшиеся этим древним алгебраистом, или же способы более современные, можно вычислить, что ему должно было быть 84 года. Неплохой возраст, если, конечно, задача основана на реальных фактах, что, впрочем, не очевидно.
Это все, что мы знаем о его жизни. Но из позднейших списков и ссылок на них в других документах мы знаем довольно много о его книгах. Он написал одну книгу о многоугольных числах, и часть ее сохранилась. Она организована в эвклидовом стиле, теоремы доказываются на основе логических аргументов, и в целом математическое значение книги невелико. Намного важнее тринадцать книг написанной им
В основном
В современной теории чисел диофантовы уравнения занимают центральное место. Знаменитый пример — «последняя теорема» Ферма, которая утверждает, что два полных куба (или две степени с более высоким показателем) в сумме не могут дать ту же степень. С квадратами такое делается совсем просто и восходит к Пифагору, например, 32 + 42 = 52 или 52 + 122 = 132. Но с кубами, четвертыми степенями, пятыми или любыми высшими
