процедуры, нам необходимо достичь подлинного понимания смысла феноменов, с этими высказываниями действительно связанных. Возможно, процедуры, полученные методом проб и ошибок, и дадут нам некоторые указания относительно того, где искать необходимые сведения, однако сами по себе такие процедуры окончательными критериями истинности являться не могут.

В качестве примера вернемся к вычислению, приведенному в комментарии к возражению Q8 (§2.6): «распечатать последовательность из 2²⁶⁵⁵³⁶ единиц, после чего остановиться». Если просто выполнять это вычисление в точном соответствии с данными инструкциями, то его никоим образом невозможно будет завершить, даже если каждый отдельный его шаг будет занимать наименьший возможный с точки зрения теоретической физики промежуток времени (около 10^-43 с) — на его выполнение потребуется срок, невообразимо больший нынешнего возраста Вселенной (или достижимого ею в любом обозримом будущем). И все же это вычисление весьма просто описать (особенно если припомнить, что 65536 = 2¹⁶), причем абсолютно очевидно, что в конечном итоге оно все равно завершится. Если же мы вознамеримся счесть, что вычисление зациклилось на том только основании, что оно якобы «выполняется слишком долго», каким безнадежно далеким от истины окажется такое предположение!

Несколько более интересным примером может послужить вычисление, которое, как нам недавно стало известно, все-таки завершается, хотя долгое время казалось, что конца ему не предвидится. Это вычисление происходит из допущения, сделанного великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером, и состоит в отыскании решения в положительных целых числах (т.е. натуральных числах, кроме нуля) следующего уравнения:

В 1769 году Эйлер предположил, что это вычисление является незавершаемым. В середине 1960-х Л.Лэндером и Т. Паркином была предпринята попытка отыскать решение с помощью специально разработанной компьютерной программы (см. [234]), однако проект через некоторое время оставили ввиду отсутствия перспективы получить искомое решение в сколько- нибудь обозримом будущем — получаемые в процессе числа оказались слишком велики для имеющегося в распоряжении математиков компьютера, и они просто-напросто сдались. По всему выходило, что это вычисление и впрямь не завершается. Однако в 1987 году математику (человеку, кстати) Ноаму Элькису не только удалось показать, что решение таки существует, но и представить его в численном виде: p = 2682440, q = 15365639, r = 18796760 и s = 20615673. Он также показал, что существует бесконечно много других решений, существенно отличных от полученного им. Воодушевленный этим результатом Роджер Фрай решил возобновить компьютерный поиск, внеся в программу несколько предложенных Элькисом упрощающих поправок и, в конечном счете, затратив приблизительно 100 часов компьютерного времени, получил несколько, правда, меньшее (вообще говоря, наименьшее возможное), но вполне подходящее решение: p = 95800, q = 217519, r = 414560 и s = 422481.

Лавры за решение этой задачи следует разделить поровну между математическими интуитивными прозрениями и прямыми вычислительными подходами. Решая задачу математически, Элькис прибегал и к помощи компьютерных вычислений, пусть и относительно несущественных, хотя по большей своей части его аргументация таких подпорок не требует. И наоборот, как мы видели выше, для того чтобы сделать вычисление вообще возможным, Фраю потребовалось весьма существенная помощь со стороны человеческой интуиции.

Думаю, следует поместить нашу задачу в несколько более подробный контекст — первоначальное предположение Эйлера, сделанное в 1769 году, представляло собой нечто вроде обобщения знаменитой «последней теоремы Ферма», согласно которой, как читатель, возможно, припоминает, верно следующее: уравнение

не имеет решения в положительных целых числах p, q, r, если n больше 2 (см., напр., [89][28]). Мы можем перефразировать предположение Эйлера и записать его в следующем виде: не имеет решения в положительных целых числах уравнение

где p, q, …, t суть положительные целые числа общим количеством n - 1, а n равно 4 или больше. Утверждение Ферма относится к случаю n = 3 (частный случай предположения Эйлера, причем то, что соответствующее уравнение решений не имеет, сам Ферма и доказал — вот только доказательства нам не оставил). Прошло почти 200 лет, прежде чем был найден первый пример, опровергающий предположение Эйлера (в случае n = 5), — для отыскания решения был использован компьютерный перебор (подробнее об этом можно прочесть в той статье Лэндера и Паркина, на которую я уже ссылался выше и в которой сообщается о неудаче со случаем n = 4):

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵.

Вспомним еще об одном знаменитом примере вычисления, о котором известно лишь то, что оно в конце концов завершается; когда именно оно завершается, неизвестно до сих пор. Это вычисление связано с задачей об отыскании точки, в которой одна хорошо известная приближенная формула для определения количества простых чисел, меньших некоторого положительного целого п (интегральный логарифм Гаусса), оказывается не в состоянии это количество оценить. В 1914 году Дж. Э. Литлвуд показал, что в некоторой точке эта задача имеет решение. (Приблизительно то же можно выразить и иначе: например, доподлинно известно, что две кривые в некоторой точке пересекаются.) В 1935 году ученик Литлвуда по фамилии Скьюс показал, что упомянутая точка приходится на число, меньшее 10¹⁰¹⁰³⁴, однако точное число так и остается неизвестным, хотя оно, конечно же, значительно меньше предела, поставленного Скьюсом. (Это число называли в свое время «наибольшим числом, когда-либо естественным образом возникавшим в математике», однако тот временный рекорд оказался на настоящий момент побит с огромным отрывом в примере, приведенном в работе Грэма и Ротшильда [165], с. 290.)

В предыдущем разделе мы могли убедиться, какую неоценимую помощь могут оказать компьютеры при решении некоторых математических задач. Во всех упомянутых успешных примерах примененные вычислительные процедуры носили исключительно нисходящий характер. Более того, лично мне не известно ни об одном сколько-нибудь значительном чисто математическом результате, полученном с помощью восходящих процедур, хотя вполне возможно, что такие методы могут оказаться весьма полезными в различного рода поисковых операциях, входящих в состав каких-либо по преимуществу