Подставляя (K) в (L), находим:

Из этого следует заключить, что вычисление C_k (k) в действительности не завершается. (Ибо, согласно (M), если оно завершается, то оно не завершается!) Невозможно завершить и вычисление A(k, k), поскольку, согласно (K), оно совпадает с C_k(k). То есть наша процедура A оказывается не в состоянии показать, что данное конкретное вычисление C_k(k) не завершается, даже если оно и в самом деле не завершается.

Более того, если нам известно, что процедура А обоснованна, то, значит, нам известно и то, что вычисление C_k (k) не завершается. Иными словами, нам известно нечто, о чем посредством процедуры A мы узнать не могли. Следовательно, сама процедура A с нашим пониманием никак не связана.

В этом месте осторожный читатель, возможно, пожелает перечесть все вышеприведенное доказательство заново, дабы убедиться в том, что он не пропустил какой-нибудь «ловкости рук» с моей стороны. Надо признать, что, на первый взгляд, это доказательство и в самом деле смахивает на фокус, и все же оно полностью допустимо, а при более тщательном изучении лишь выигрывает в убедительности. Мы обнаружили некое вычисление C_k(k), которое, насколько нам известно, не завершается; однако установить этот факт с помощью имеющейся в нашем распоряжении вычислительной процедуры А мы не в состоянии. Это, собственно, и есть теорема Гёделя(—Тьюринга) в необходимом мне виде. Она применима к любой вычислительной процедуре A, предназначенной для установления невозможности завершить вычисление, — коль скоро нам известно, что упомянутая процедура обоснованна. Можно заключить, что для однозначного установления факта незавершаемости вычисления не будет вполне достаточным ни один из заведомо обоснованных наборов вычислительных правил (такой, например, как процедура A), поскольку существуют незавершающиеся вычисления (например, C_k(k)), на которые эти правила не распространяются. Более того, поскольку на основании того, что нам известно о процедуре A и об ее обоснованности, мы действительно можем составить вычисление C_k(k), которое, очевидно, никогда не завершается, мы вправе заключить, что процедуру A никоим образом нельзя считать формализацией процедур, которыми располагают математики для установления факта незавершаемости вычисления, вне зависимости от конкретной природы A. Вывод:

Мне представляется, что к такому выводу неизбежно должен прийти всякий логически рассуждающий человек. Однако многие до сих пор предпринимают попытки этот вывод опровергнуть (выдвигая возражения, обобщенные мною под номерами Q1-Q20 в §2.6 и §2.10), и, разумеется, найдется ничуть не меньше желающих оспорить вывод более строгий, суть которого сводится к тому, что мыслительная деятельность непременно оказывается связана с некими феноменами, носящими фундаментально невычислительный характер. Вы, возможно, уже спрашиваете себя, каким же это образом подобные математические рассуждения об абстрактной природе вычислений могут способствовать объяснению принципов функционирования человеческого мозга. Какое такое отношение имеет все вышесказанное к проблеме осмысленного осознания? Дело в том, что, благодаря этим математическим рассуждениям, мы и впрямь можем прояснить для себя некие весьма важные аспекты такого свойства мышления, как понимание — в терминах общей вычислимости, — а как было показано в §1.12, свойство понимания связано с осмысленным осознанием самым непосредственным образом. Предшествующее рассуждение действительно носит в основном математический характер, и связано это с необходимостью подчеркнуть одно очень существенное обстоятельство: алгоритм A участвует здесь на двух совершенно различных уровнях. С одной стороны, это просто некий алгоритм, обладающий определенными свойствами; с другой стороны, получается, что на самом-то деле A можно рассматривать как «алгоритм, которым пользуемся мы сами» в процессе установления факта незавершаемости того или иного вычисления. Так что в вышеприведенном рассуждении речь идет не только и не столько о вычислениях. Речь идет также и о том, каким образом мы используем нашу способность к осмысленному пониманию для составления заключения об истинности какого-либо математического утверждения — в данном случае утверждения о незавершаемости вычисления C_k (k). Именно взаимодействие между двумя различными уровнями рассмотрения алгоритма A — в качестве гипотетического способа функционирования сознания и собственно вычисления — позволяет нам сделать вывод, выражающий фундаментальное противоречие между такой сознательной деятельностью и простым вычислением.

Существуют, однако, всевозможные лазейки и контраргументы, на которые необходимо обратить самое пристальное внимание. Для начала, в оставшейся части этой главы, я тщательно разберу все важные контраргументы против вывода G, которые когда-либо попадались мне на глаза — см. возражения Q1-Q20 и комментарии к ним в §§2.6 и 2.10; там, кроме того, можно найти и несколько дополнительных возражений моего собственного изобретения. Каждое из возражений будет разобрано со всей обстоятельностью, на какую я только способен. Пройдя через это испытание, вывод G, как мы убедимся, существенно не пострадает. Далее, в главе 3, я рассмотрю следствия уже из утверждения G. Мы обнаружим, что оно и в самом деле способно послужить прочным фундаментом для построения весьма убедительного доказательства абсолютной невозможности точного моделирования сознательного математического понимания посредством вычислительных процедур, будь то восходящие, нисходящие или любые их сочетания. Многие сочтут такой вывод весьма неприятным, поскольку если он справедлив, то нам, получается, просто некуда двигаться дальше. Во второй части книги я выберу более позитивный курс. Я приведу правдоподобные, на мой взгляд, научные доводы в пользу справедливости результатов моих размышлений о физических процессах, которые могут, предположительно, лежать в основе деятельности мозга — вроде той, что осуществляется при нашем восприятии приведенных выше рассуждений, — и о причинах недоступности этой деятельности для какого бы то ни было вычислительного описания.