плоскость. Если же окружности связки вращаются каждая вокруг своего центра, то получается связка сфер, совокупность сфер, имеющих общую радикальную ось. Совокупность же сфер, относительно которых некая точка О имеет одну и ту же степень, называется сетью сфер.
В случае связки окружностей каждая прямая, проходящая через точку О, пересекает каждую окружность связки в двух точках, в т. н. паре точек связки. Соответственно и в сферической сети — пара точек сети. Эти точки — взаимообразные, потому что они получаются одна из другой путем аналогичного преобразования.
с) Все эти установки дают нам в руки весьма тонкий инструмент для уловления философской сущности неэвклидовой геометрии. Попробуем представить себе, что в эллиптической связке пара точек в инверсии сети является одной точкой. Другими словами, представим себе, что точки Qx и Q2 (рис. 4) пересечения всех окружностей (и сфер) связки есть одна и та же точка. Представить это, может быть, и не так легко. Но вспомним, что мы говорили выше. Точка на данной ступени диалектического развития геометрии должна мыслиться не абстрактно, но выразительно: она вмещает в себя и свою антитезу, т. е. свой уход в бесконечное инобытие, свою «бесконечно удаленную» точку. Итак, точку мы берем вместе с ее диалектической антитезой.
Но что же тогда мы назовем прямой? Прямая предполагает по крайней мере две точки. Но, взглянувши на рис. 4 и помня сказанное выше о выразительности точки, мы сразу замечаем, что какая–то прямая должна образоваться, уже когда абстрактная точка удалилась в свое бесконечное инобытие, и что если она в этом последнем нашла не что иное, как саму же себя, то это возможно только благодаря замкнутости пути, проходимого ею для этого. Следовательно, прямая в нашей новой геометрии есть не что иное, как окружность. Уйти в инобытие, отрицая себя, и найти в инобытии себя же, отрицая свое отрицание и тем заново утверждая себя, — это значит двигаться по окружности. Да мы и раньше, еще в конструкции отвлеченных фигур (§ [55 ]), нашли, что выразительная линия есть определенным образом замкнутая линия. Итак, будем считать окружности нашей связки за прямые.
Теперь не потребует объяснения, что плоскостью в нашей новой геометрии нужно считать сферу.
Итак, вот у нас новое пространство. В нем точка — это то, что сразу охватывает всю бесконечность в смысле совмещения с данной точкой и той, которая от нее бесконечно удалена (хотя в буквальном смысле о бесконечности может тут идти речь только в отношении предельного случая, когда окружность выпрямляется в прямую; в остальных же случаях о бесконечности можно говорить только символически); прямая—это окружность, и плоскость—сфера, что, конечно, тоже является охватом бесконечности, но только в смысле последующих измерений (с указанным символическим пониманием бесконечности, поскольку Риманово пространство вообще может рассматриваться как конечный символ бесконечного). Все прямые и все плоскости в нашем новом пространстве проходят через эту точку, т. е. все они выходят из нее и в нее возвращаются. Но мы, кроме того, говорим о связке окружностей и сфер. А это значит, что прямые, выходя из этой точки и возвращаясь в нее, заполняют решительно всю плоскость, двигаясь сразу во все стороны, которые только допускает плоскость; и плоскости, выходя из этой точки и возвращаясь в нее, заполняют решительно все пространство, двигаясь во всех направлениях, которые только допускает пространство. Сферическая сеть есть именно символ того нового пространства, которое раньше мы называли пространством Римана; и анализировать этот символ — значит понимать и самое пространство Римана.
d) В самом деле, в этом пространстве имеет полную силу наша аксиома самотождественного различия, т. е. Гильбертовы аксиомы сочетания. Можно и нужно говорить, что через две точки тут всегда проходит прямая, и притом одна, потому что две «точки» здесь есть не что иное, как две пары точек, т. е. четыре точки, а окружность (в нашем случае — прямая) определяется уже только тремя точками. Через три точки тут всегда проходит плоскость, и притом только одна, потому что три точки дают нам целых шесть точек, которых даже слишком много для определения сферы. Однако и аксиомы подвижного покоя (Гильбертовы аксиомы порядка) также в известном смысле здесь соблюдаются (понятие «между» модифицируется на понятие «развитие двух пар точек»). Формально остаются у нас и фигуры, конструированные у нас при помощи аксиом определенности, непрерывности и конгруэнтности. Единственная новость этого пространства заключается в том, что тут нет параллельных прямых, что все прямые суть замкнутые кривые, что все они пересекают друг друга уже на конечном расстоянии.
И эта новая аксиома параллельности накладывает свою неизгладимую печать и на все предыдущие аксиомы, хотя формально, т. е. в той абстрактной, до–выразительной форме, как они были выведены раньше, они и остаются в полной силе.
Сферическая сеть является в полном смысле слова символом пространства Римана, выражающим его структуру в максимально четкой форме. Она содержит в себе все особенности символа вообще, и прежде всего отождествление идеального и реального. Уже самая обыкновенная проективная геометрия, вводящая в свое рассмотрение бесконечно удаленные элементы, но не отличающая их от конечных, снимает различие идеального и реального. Это остается и в геометрии Римана, которая есть, как, правда, и всякая другая геометрия, не больше чем специальный вид проективной геометрии. В идеальном бытие и инобытие абсолютно тождественны, как, правда, и различны. В реальном же это самотождественное различие должно быть пространственно положено. А это значит, что все прямые такого пространства замкнуты. Тайна эллиптического пространства заключается в выразительном вездеприсутствии идеального, в таком тождестве идеально–отвлеченной фигуры и ее пространственного инобытия, где уже не различимо ни идеальное, ни реальное. Вот почему тут нет параллельных, и вот почему кривизна такого пространства положительная. В этом пространстве, куда бы я ни двигался, я, описавши известную замкнутую линию, возвращаюсь опять к той же исходной точке. При этом я могу двигаться вперед или назад, вверх или вниз, результат один и тот же. Наконец, если я совсем не двигаюсь, это не значит, что меня нет в другом месте. Я в это же время нахожусь и в другом месте, и притом — во всяком месте, как равно, впрочем, и двигаюсь по всем местам, достигая одни и проходя другие. Тайна пространства Римана, повторяясь, есть тайна подвижного вездеприсутствия идеальных форм, это пространственный символ идеальных фигур или, лучше, пространство как символ.
е) Этот символ можно несколько видоизменить. Будем мыслить себе не связку окружностей, а просто связку прямых. На этом символе Клейн прекрасно иллюстрирует все свойства эллиптического пространства. Именно, пусть точкой у нас будет вся прямая связки. Тогда под новой прямой придется понимать плоскость связки и под новой плоскостью—всю связку. Но что будет в этих случаях отрезком? Если мы поместим плоскость, пересекающую нашу связку, то каждая прямая связки и точка этой плоскости будут связаны взаимно однозначным соответствием. Спрашивается: на основании чего можно будет судить о расстоянии двух точек такой плоскости? Конечно, на основании угла между соответствующими двумя прямыми связки. Следовательно, отрезок на эллиптической плоскости нужно понимать как некий угол и, в частности, равенство отрезков есть равенство углов, а полупрямая, т. е. прямая, неопределенно продолженная в одну сторону, есть не что иное, как прямой угол. Если же мы захотели представить себе угол на эллиптической плоскости, то, поскольку для этого необходимо пересечение двух прямых, а под прямой мы условились понимать плоскость связки, угол этот на плоскости есть, очевидно, двугранный угол. А треугольник — в таком случае — окажется трехгранным углом связки.
На основании такого толкования эллиптической планиметрии мы должны сказать, что все категории геометрии предыдущих аксиом тут понимаются в новом смысле и эта новизна везде обладает одним и тем же методом, методом выразительности. Выразительность же есть прежде всего встреча идеи в инобытии с самой собой. И вот: точка эллиптического пространства уходит в свое инобытие, но все это инобытие, весь путь, пройденный ею, есть точка же; прямая эллиптического пространства уходит в свое инобытие, создавая своим движением плоскость, но эта плоскость есть только та же прямая; отрезок, вращаясь около своей начальной точки, создает угол, но этот угол мы считаем отрезком эллиптической плоскости; угол на эвклидовской плоскости таким же точно путем превращается у нас в двугранный угол, но этот двугранный угол и есть угол эллиптической плоскости и т. д. Везде тут один и тот же метод — выражение идеальной фигуры при помощи инобытийного к ней пространства, если под выражением понимать не внешний безразличный привесок, но самостоятельную смысловую категорию.
Усвоивши себе этот выразительный символ эллиптического пространства, нетрудно уже
